(M/M/1):(N/∞/FCFS)排队模型和(M/M/1):(∞/∞/FCFS)排队模型在结构上的区别是系统的容量有限，即系统最多容纳的顾客数为N个。其特点是系统排队的顾客数最多只能有N-1个，因为有一个服务员，即有一个顾客在接受服务。另外，当系统的顾客数达到N时，新到达的顾客就不能进入系统而自动消失，比如一个停车场没有停车位时，新到达的车辆只能离开而去寻找新的停车场。

如果令 r 表示希望进入系统的顾客到达强度，则此系统服务员的繁忙度ρ=r/μ。另外需要说明的是，这个r并非是实际进入系统的顾客到达强度，所以

服务强度μn=μ，其中0≤n≤N。

1.(M/M/1):(N/∞/FCFS)排队模型的相关指标

（1）系统内有0个顾客的概率P0

基于生灭过程的稳态结果公式（11.13），有

基于此系统的繁忙度ρ有

（2）状态概率分布Pn

根据式（11.11）有

（3）队长L

根据状态概率分布，可以推导出队长的计算公式：

（4）排队长Lq

（5）顾客平均停留时间W

因为r只是系统中顾客数少于N时的到达强度，为了利用Little公式求W和Wq，需要先求出系统的平均到达强度λ：

于是有

（6）顾客平均等待时间Wq

需要说明的是，对于系统容量有限的排队模型，不需要有ρ<1的限制，其原因是当系统的顾客数达到N时，新到达的顾客会自动消失，不可能出现无限制的排队情况。所以以上公式只适用于ρ≠1的情况，当ρ=1时，根据公式(11.47)很容易证明：

同时有(www.daowen.com)

2.(M/M/1):(N/∞/FCFS)排队模型的示例

下面以一个例题，对(M/M/1):(N/∞/FCFS)排队模型的相关运行指标进行计算。

例11.3　假设某高校内有一个理发店，有8把椅子接待学生理发。该店只有一个理发员，理发员理发的平均时间为12 min，服从指数分布；理发学生的到达强度为4人/h，服从泊松分布。如果学生到达时发现8把椅子已经坐满，就不进入该店而去隔壁的理发店理发，现在计算此排队系统的有关运行指标。

解　由已知条件可知，除有8把椅子接待学生之外，还有一个正在理发，所以N=9，另外，r=4人/h，μ=5人/h，理发员的繁忙度ρ=r/μ=4/5=0.8。

（1）学生一到就能理发的概率P0：

这说明学生到达理发店后，不需要排队等待的可能性是22.4%。

（2）队长L，即理发学生的平均数。

因为属于ρ≠1的情况，根据公式（11.50）有

（3）排队长Lq，即正在等待理发的学生平均数。

（4）理发学生损失率PN。

理发学生损失率即为学生到达理发店后，发现理发店满员转而离去的概率，根据公式（11.49）有

这说明顾客损失率即学生离去的概率为3%。

（5）理发学生平均停留时间W。

根据公式（11.52）有

（6）理发学生平均等待时间Wq。

根据公式(11.53)有