对bi值的灵敏度分析，就是在cj和aij不变的前提下，并在保证不改变原来最优解基变量但基变量取值可以变动的情况下，求出bi值的允许变动范围，即求出bi变动的上下限。

根据以上定义，bi值灵敏度分析的基础是：

（1）所谓不改变原来最优解的基变量，即基变量的组成保持不变。

（2）尽管基变量的取值可以变动，但基变量的新值必须满足非负约束。若基变量的新值不满足非负约束，说明bi的变动超出了范围。

基于以上的基础描述可知，bi值的变化仅仅影响基变量的取值。同时由第2.1.5节线性规划问题的典式可以知道，原来的资源b=(b1,b2,…,bk,…,bm)T，经过初等变换以后，变为b′=(b1′,b2′,…,bk′,…,bm′)T=B-1b，所以基变量

又知

设bk的变化量为Δbk，则bN=(b1,b2,…,(bk+Δbk),…,bm)T，则bk变化以后基变量的新值为

此式整理为

由XB＝b′＝B-1b可以有：

由可行性可知，所以有

即有。

所以当时，有；当时，有。因此针对所有的m个约束条件方程来说，变化量Δbk的取值范围是：

则bk值的允许变动区间为

由前面的分析基础可知，当bk在允许变动区间变化时，基变量的取值会发生变化，即最优解发生了变化，此时不必对问题重新求解，可以由下式直接计算新的最优解：

如例4.1中，n=3，b2的变化量Δb2的取值范围就是：

即-12≤Δb2≤20。则b2值的允许变动区间就是[b2-12,b2+20]，即[120-12,120+20]。也就是说，当b2在[108,140]内取任意值时，线性规划模型（4.1）最优解的基变量始终是x1、x2、x3，但基变量的取值会发生变化。假设取Δb2=10，原来最优解的基变量XB=(x1,x2,x3)=(5,25,15)，列向量，则最优解基变量的新值为

此时目标函数值zN=40×5/2+45×45/2+24×55/2=1772.5，比原来增加87.5。其实，目标函数值的增加量也可以由b2的边际值求出。由上可知，q2=z3+2=z5=35/4，则目标函数值的增加量为10×35/4=87.5。(www.daowen.com)

特别提示

当bi在允许范围内变动时，不会改变基变量的组成，但基变量的取值会发生变化，同时目标函数值也有可能发生了改变。

下面基于例3.1给出灵敏度分析的一个应用示例：

例4.2　某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需要的原材料A和B、资源量的消耗以及设备台时分别如表4.3所示：

表4.3

该工厂每生产一件产品Ⅰ获利3元，每生产一件产品Ⅱ获利5元。设x1、x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量（在此假设产品小数），建立的线性规划模型如下：

求解后的最优单纯形表如表4.4所示。由最优单纯形表可知，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量分别是2和6，因此获得的最大总利润为z=3×2+5×6=36元。

表4.4

请解决以下问题：

（1）如果原材料B的数量增加到18 kg，那么新生产方案如何？利润比原来增加多少？

（2）如果企业通过工艺改进，使单位产品Ⅰ对原材料A的消耗由原来的1 kg减少到0.5 kg，这样的工艺改进是否使利润增加？如果企业工艺改进投入了2万元，另外，原材料A的市场价格为4万元，这样的工艺改进是否划算？为什么？

求解如下：

（1）增加原材料B的数量，就意味着对b2作灵敏度分析。根据bi灵敏度分析公式有

即有－6≤Δb2≤6，则b2的变化范围是[6,18]。当原材料B的数量增加了6 kg，即Δb2=6时，b2仍然在灵敏度变化范围内，新的最优解为

即新的生产方案为：Ⅰ产品的生产数量为0、Ⅱ产品的生产数量为9，新的最大总利润为3×0+5×9=45，总利润增加了45-36＝9元。

另外，若求利润比原来增加多少，也可以用边际值计算，即

那么利润比原来增加了6×3/2=9元。

（2）问题所描述的其实就是对a11的灵敏度分析。a11对应的变量x1为基变量，根据aij灵敏度分析公式有-∞<Δa11<x3/x1，即有-∞<Δa11<1，那么a11的灵敏度变化范围是(-∞,2]。单位产品Ⅰ对原材料A的消耗由原来的1 kg减少到0.5 kg，没有超出a11的灵敏度范围，即没有改变最优解，所以不会使产品的利润增加。另外，尽管这样的工艺改进没有使利润增加，但还是带来了节省原材料A的好处。

产品Ⅰ节省的原材料A共计0.5 kg×2=1 kg，原材料A的市场价格为4万元，那么可以节

省费用4万元×1 kg=4万元。因为企业工艺改进投入了2万元成本，这样可有净收益4-2＝2万元。因此这样的工艺改进尽管没有使产品的利润增加，但带来了间接的收益，从这个角度说还是划算的。