对cj值的灵敏度分析，就是在aij和bi不变的前提下，并在保证不改变原来最优解基变量及其取值的情况下，求出cj值的允许变动范围，即求出cj变动的上下限。

根据以上定义，cj值灵敏度分析的基础是：

（1）所谓不改变原来最优解的基变量及其取值，就是保持最优解不变，而保持最优解不变反应到最优单纯形表中，就是非基变量不能成为换入变量。

（2）若要保证非基变量不能成为换入变量，还要知道cj对应的变量xj是非基变量还是基变量。

基于以上的基础描述，若要分析cj值的允许变动范围，就要把cj对应的变量xj分为非基变量和基变量两种情况。

1.xj是非基变量

若cj对应的变量xj为非基变量，即cj不在单纯形表的CB列，所以cj值的变化不会影响各个变量的机会费用，也不会影响其他变量的检验数，但会影响本变量xj对应的检验数cj－zj。由前面的基础描述已经知道，为了保持最优解不变，就要保证非基变量xj不能成为换入变量，所以cj值无论如何变化，其对应非基变量xj的检验数要时刻满足最优检验。设cj的变化量为Δcj，则cj值的允许变动范围分别为：

（1）当目标函数是max型时，要保证(cj+Δcj)－zj≤0，即变化量Δcj的取值范围为：-∞<Δcj ≤-(cj-z j)，则cj值的允许变动区间是(-∞,cj+Δcj]，即(-∞,z j]。

（2）当目标函数是min型时，要保证(cj+Δcj)-z j ≥0，即变化量Δcj的取值范围就是：-(cj-zj)≤Δcj <+∞，则cj值的允许变动区间是[cj+Δcj,+∞)，即[zj,+∞)。

例如，在例4.1中，c4对应的变量x4为非基变量，因为模型（4.1）是max型，所以c4的变化量Δc4的取值范围为-∞<Δc4≤-(c4-z4)，即-∞<Δc4≤23/4，则c4值的允许变动区间是(-∞,23/4]。也就是说，当c4在(-∞,23/4]内取任意值，线性规划模型（4.1）的最优解不会改变。

同样，针对例3.1中模型（3.2）的最优单纯形表3.3来说，c1对应的变量y1为非基变量，因为模型（3.2）是min型，所以c1的变化量Δc1的取值范围是-(c1-z1)≤Δc1<+∞，即-2≤Δc1<+∞，则 c1 值的允许变动区间是[4-2,+∞)。也就是说，当c1在[2,+∞)内取任意值，线性规划模型（3.2）的最优解不会改变。

特别提示

当cj对应的变量xj为非基变量时，若cj在允许范围内变动，最优解不会改变。另外，目标函数值也不会改变。因为尽管cj发生了变动，但作为非基变量xj的取值为0，所以目标函数中cjxj项的取值仍然为0。

2.xj是基变量

若cj对应的变量xj为基变量，即cj在单纯形表的CB列中，那么cj值的变化就会影响各个变量的机会费用。同时由单纯形法知道，基变量的检验数恒为0，所以cj值的变化只会影响非基变量的检验数。由前面的基础描述可以知道，为了保持最优解不变，就要保证所有的非基变量不能成为换入变量，所以无论cj值如何变化，所有非基变量的检验数都要时刻满足最优检验，这样才不会改变原来最优解的基变量及其取值，即保持最优解不变。

由第2.1.5节线性规划问题的典式可知，机会费用zj的公式为

为了便于讨论，这里将上述公式整理为

因为cj对应的变量xj为基变量，所以不妨设xj是第i个基变量，即在单纯形表CB列中，第i行的ci′就是cj。设cj的变化量为Δcj，则cj变化以后非基变量的新机会费用为

为了保证cj变化以后，所有非基变量不能成为换入变量，所以cj值的允许变动范围分别为：

（1）当目标函数是max型时，必须保证所有非基变量的检验数cj－zjN≤0，即有

整理为

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因此针对所有的非基变量有：

当时有：，其中且针对所有非基变量；

当时有：，其中且针对所有非基变量。即变化量Δcj的取值范围为

那么cj值的允许变动区间为

（2）当目标函数是min型时，必须保证所有非基变量的检验数cj－zjN≥0，即有

整理为

因此针对所有的非基变量有：

当时有：，其中且针对所有非基变量；

当时有：，其中且针对所有非基变量。即变化量Δcj的取值范围为

那么cj值的允许变动区间为

如在例4.1中，c3对应的变量x3为基变量，因为模型（4.1）是max型，所以c3的变化量Δc3的取值范围是

即-7≤Δc3≤1，那么c3值的允许变动区间就是[24-7,24+1]。也就是说，当c3在[17,25]内取任意值，线性规划模型（4.1）的最优解不会改变。

同样，针对例3.1中模型（3.2）的最优单纯形表3.3来说，c2对应的变量y2为基变量，所以c2的变化量Δc2的取值范围是

即-6≤Δc2≤6，则c2值的允许变动区间就是[12-6,12+6]。也就是说，当c2在[6,18]内取任意值，线性规划模型（3.2）的最优解不会改变。

特别提示

当cj对应的变量xj为基变量时，如果cj在允许的范围内变动，最优解不会改变，但是目标函数值有可能会发生改变。因为尽管基变量xj没有改变，但cj发生了变动，所以目标函数cjxj项的取值也发生了变动，从而造成目标函数值变动。