由第1.2节可知，线性规划模型的形式是多种多样的，其多样性具体体现为：

（1）目标函数有的求最大值即max型（如追求利润最大），也有的求最小值即min型（如追求成本最低）。

（2）约束条件方程可以是“≤”形式的不等式，也可以是“≥”形式的不等式，还可以是“=”形式的等式。

（3）决策变量的一般约束为非负，但有时可以任意取值，即无约束。

正是线性规划模型的多样性，给线性规划问题的讨论、数学理论的证明以及对求解方法的学习等带来了诸多不便，所以有必要把线性规划模型中一种特殊的形式规定为线性规划模型的标准型。

1.线性规划模型的标准型

线性规划模型标准型的一般形式为

线性规划模型标准型的简化形式：

线性规划模型标准型的矩阵向量形式：

可以看出，线性规划模型的标准型有如下特点：

（1）目标函数是求最大值，即目标函数是max型。

（2）所有的约束条件方程都是等式。

（3）所有的未知数变量要求是非负的。

（4）所有约束条件方程右端的常数都是非负的，即bi≥0。若构建的线性规划模型中有bi<0，可通过等式两端乘以-1的方式来处理。

至于为何规定bi≥0，将在第2.2.1节中予以说明和解释。

2.线性规划模型的标准型转换(www.daowen.com)

在实际问题中构建的线性规划模型有可能不是标准型，有时需要转化为标准型。将非标准的线性规划模型转换为标准型的主要方法有：

（1）若目标函数是min，可令z=－z′，这样就将目标函数转化为

显然这两个目标函数是等价的，使z′ 取得最大值的解也就是使z取得最小值的解。

（2）若约束条件方程有“≤”的形式，可在方程左端加上一个非负变量，并把这个变量称为松弛变量，从而将这种不等式方程转化为等式方程。如2x1+x2≤10，可以转化为2x1+x2+x3=10，其中x3≥0。

（3）若约束条件方程有“≥”的形式，可在方程左端减去一个非负变量，并把这个变量称为多余变量，从而将这种不等式方程转化为等式方程。如2x1+x2≥10，可以转化为2x1+x2－x3=10，其中x3≥0。

（4）若决策变量xk没有非负约束，可把这个决策变量也称为自由变量。为了满足标准型对变量非负的要求，可令xk=xl－xm，其中xl、xm≥0，由于xl可能大于xm，也可能小于xm，所以xk可以取正，也可以取负。

（5）若决策变量xk<0，为了满足标准型对变量非负的要求，可令xk=－xl，其中xl≥0。

例2.2　将下列线性规划模型化为标准型：

解 （1）x2没有非负约束，为自由变量，令x2=x3－x4，其中x3≥0，x4≥0。

（2）把x2=x3－x4代入线性规划模型，变为

（3）在第一个约束条件方程左端加上一个非负的松弛变量x5。

（4）在第二个约束条件方程左端减去一个非负的多余变量x6。

（5）令z=－z′，可以得到标准型：

特别提示

一般情况下，松弛变量和多余变量对应的目标函数的系数为0。