为了了解线性规划问题解的状态，下面先给出关于线性规划模型解的两个最基本概念：

（1）满足线性规划模型约束条件方程组的解称为可行解。可行解会使线性规划模型中的全部约束条件都成立。把所有可行解组成的集合称为可行域。

（2）在线性规划模型的所有可行解中，使目标函数值达到最优的解，称为线性规划模型的最优解。

通过第1章已经知道，线性规划问题的模型由目标函数和约束条件方程组构成，再基于可行解和最优解这两个定义，下面对线性规划问题解的状态进行分析，同时也给出线性规划模型关于其他解的定义。

（1）约束条件方程组没有公共解，图解法的解释就是，约束条件方程组没有围成公共区域，即约束条件方程组出现了不可行性，那么目标函数也不可能达到最优。这种情况将造成线性规划模型无解，把这种状态界定为线性规划模型无可行解。

（2）约束条件方程组只有一个公共解，即只有一个可行解，那么目标函数肯定能达到最优，因此线性规划模型有最优解，而且是唯一的最优解，简称唯一解。

（3）约束条件方程组有无限个可行解（未知数取值是连续的，可行解是连续解），那么目标函数就会出现以下几种情况：

① 没有任何一个可行解能使目标函数达到最优，即目标函数没有上界（目标函数求最大）或下界（目标函数求最小），这种情况也造成线性规划模型无解，把这种状态界定为线性规划模型是无界解。

② 只有一个可行解使目标函数达到最优，则线性规划模型有唯一解。

③ 至少有两个可行解会使目标函数达到最优，这种情况会使线性规划模型出现无穷个最优解，把这种状态界定为线性规划模型有多重解，即在图解法中，不但可行域的顶点有最优解，在可行域边界也可能存在最优解。

另外的问题是，如果线性规划模型有两个或两个以上的最优解，那么该线性规划模型就会存在无穷多个最优解。设X(1)、X(2)为两个已经求出的最优解，那么其最优解可以由线性组合X=αX(1)+(1-α)X(2)中α 的不同取值来确定，其中0≤α≤1。

下面利用线性规划模型矩阵向量的形式对此予以证明：

证明　设X(1)、X(2)分别是线性规划模型的两个最优解，再设z*是与最优解对应的最优目标函数值，即有(www.daowen.com)

另外，设zn是把X=αX(1)+(1-α)X(2)代入目标函数后的值，那么有

从证明结果可以看出，由线性组合确定的解X对应的目标函数值和最优目标函数值z*是相等的，所以随着α 的变动，此类线性规划模型就会出现无穷多个最优解。

（4）约束条件方程组至少有两个而且是有限个可行解，那么在有限个可行解中，至少会有一个可行解使目标函数值达到最优。若只有一个可行解使目标函数达到最优，则线性规划模型有唯一解；若至少有两个可行解使目标函数达到最优，则线性规划模型就有多个最优解，但不能称为多重解，因为这种情况下未知数的取值是离散的，即可行解是离散解，尽管有多个最优解，但最优解的个数是有限个，此内容将在第7章的整数规划中涉及。

下面通过表2.1把线性规划问题解的状态分析总结在一起。

表2.1

通过线性规划模型解的状态分析（不考虑离散解情况）可知，线性规划模型无解会出现无可行解和无界解两种情况，有解会出现唯一解、多重解两种情况，即线性规划模型的解有唯一解、无可行解、多重解和无界解四种情况。

特别提示

（1）通过可行解和最优解的定义可知，最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解，因为最优解来自可行解，而可行解不一定都使目标函数达到最优。

（2）需要把线性规划模型的无解、无可行解以及无最优解的情况进行区别，即线性规划模型无解可能是无可行解，也可能是无界解。另外，也需要清楚唯一解是来自可行解的哪种情况。