针对复杂的实际问题，构建数学模型时，要先利用理论知识、专业背景知识等对问题进行系统深入的分析，再对实际问题进行抽象、简化、假设等处理，最后明确决策变量、目标函数和约束条件方程，从而形成初步的线性规划问题。然后在此基础上，论证模型是否反映实际问题的应用、结果是否符合要求，否则要对问题重新进行分析和验证，对模型进行修改完善，这样不断反复，直到建立的模型符合实际要求为止。

在第1.1节中，例1.1和例1.2的线性规划问题相对比较简单，其原因之一就是决策变量是单变量单下标形式，即决策变量是xi形式。但有的线性规划问题的决策变量，需要设定成其他形式才能构建出合理的线性规划模型。也就是说，决策变量的设定形式多种多样，即决策变量可能用到单变量多下标，如xij形式；决策变量可能用到多变量单下标形式，如xi和yj形式；决策变量可能用到多变量多下标形式，如xi和yij形式；等等。

教材中不可能对实际工作中的大型问题进行讨论，因此下面通过几个不同类型的被简化的例题，来体会确定合适的决策变量在建立线性规划数学模型时的重要性。另外，也可以对建立线性规划模型的基本思路和技巧有进一步的了解。

下面两个例题是决策变量为单变量双下标的形式。

例1.3　某水泥厂生产R、P、L三种不同强度等级的水泥，这三种水泥是由A、B、C三种原料按照不同比例混合而成。

混合比例如下：

水泥R：A不少于10%且不多于30%；

水泥P：A不少于40%，B不少于20%且不多于30%，C不多于10%；

水泥L：B不少于20%。

三种不同强度等级的水泥R、P、L售价分别为d元/千克、e元/千克、f元/千克，另外，水泥L每月最多能销售50千克。

A、B、C三种原料的单位成本及每月的最大购入量如表1.2所示。

表1.2

要求建立线性规划模型，确定获取最大利润的每种水泥的生产数量。

解　建立数学模型的第一步是确定决策变量。如果按照通常设x1、x2、x3分别为三种水泥的生产数量，那么就必须确切地知道相应的成本和售价，从而确定目标函数的系数cj。现在题目中已经给出了售价，但由于各种水泥的确切配方不知道，这样就不能算出各种水泥的单位成本，因此用上面定义的决策变量就不能建立该问题的线性规划模型。

针对此问题，必须作出两个决策，即每种水泥各用多少A、B、C三种原料以及每种水泥各生产多少，遇到这种情况，决策变量可采用单变量双下标的形式，这样就能顺利地构建模型。

设xij表示第j种水泥中所用原料i的数量，其中i=A,B,C；j=R,P,L。这样第j种水泥的生产量为

例如，水泥R的生产量为TR=xAR+xBR+xCR。

同理，原料i的需求量是：

例如，原料A的需求量为DA=xAR+xAP+xAL。

目标函数就是销售总收入减去总成本的余额后，其值达到最大，即有

max z＝dTR+eTP+fTL-aDA-bDB-cDC?

将水泥生产量和原料需求量的公式代入目标函数，得

根据各种原料每月的最大购入量，可以列出如下约束条件方程：

xAR+xAP+xAL≤110

xBR+xBP+xBL≤120

xCR+xCP+xCL≤40

根据水泥L销售量的限制，可以列出如下约束条件方程：

根据水泥混合比例的限制，可以列出如下约束条件方程：

即有

整理为

针对水泥P、L，同理可依次整理出以下方程：

针对决策变量有非负约束，即

该问题的线性规划模型为

例1.4　某投资公司考虑在今后五年内投资项目。已知项目A在五年内每年均可投资，若在年初投资，两年后可收回本利120%；项目B只在第三年年初投资，到第五年年末能收回本利130%；项目C只在第二年年初投资，到第五年年末能收回本利140%；项目D在五年内每年年初可购买公债，在当年年末可收回本利106%。该部门现有资金1000万元，请建立线性规划模型来确定如何投资，使第五年年末的资金总额达到最大？

解　这是一个与时间有关的多阶段投资问题，在这里用线性规划方法静态地处理此问题，分析过程如下：

（1）确定决策变量。

设xij表示第i年年初分配给项目j的投资额，其中i=1,2,3,4,5；j=A,B,C,D。根据给定的条件可知，这些变量之间存在着一定的关系，为了利于模型的建立，将这些变量之间的关系归纳到表1.3中。

表1.3

（2）目标函数。(www.daowen.com)

目标是要使第五年年末，即第六年年初拥有的资金总额达到最大，所以目标函数如下：

max z=1.4x2C+1.3x3B+1.2x4A+1.06x5D

（3）确定约束条件方程。

每年年初的投资额应等于当年年初手中拥有的资金额。另外，项目D每年都可投资，而且当年年末即可收回本利，最终该部门每年都应把资金全部投资出去，所以根据每年年初的资金平衡，可得如下约束条件方程：

第一年年初：x1A+x1D=10000000

第二年年初：x2A+x2C+x2D=1.06x1D

第三年年初：x3A+x3B+x3D=1.2x1A+1.06 x2D

第四年年初：x4A+x4D=1.2x2A+1.06x3D

第五年年初：x5D=1.2x3A+1.06x4D

基于以上分析，此问题的线性规划模型如下：

下面的例题是决策变量为双变量单下标的形式。

例1.5　某公司将在今后一个月四周内出售某种新产品，合同销售量、各周生产能力、生产成本及商品存储费见表1.4。

表1.4

商品若在本周出售，不产生存储费，若转到下周，就要支出存储费。要求产品单位售价在今后一个月内不变，销售合同必须遵守，建立使这月利润最大的线性规划模型。

解　设xi表示第i周产品的生产量，其中i=1,2,3,4；yj表示第j周周末产品的存储量，其中j=1,2,3,4。

问题的目标是月利润最大，但是单位售价不变，所以需要转换为求成本最小，那么目标函数即为

生产能力限制的约束条件方程分别为

满足需求的约束条件方程分别为

非负约束条件为

基于以上分析，此问题的线性规划模型如下：

下面的例题是决策变量为双变量双下标的形式。

例1.6　有A、B、C三个零件产地，其零件要在工厂加工成成品，然后再到销售地出售。A、B两地也是销售地，其有关数据见表1.5。已知3个零件制成1个成品，A和B之间距离为150 km，B和C之间距离为200 km，C和A之间距离为100 km。每万个零件的运费为300元/km，每万个成品的运费为250元/km。如果在B地设厂，每年生产成品不能超过10万个；如果在A、C两地设厂，生产规模不受限制。试建立线性规划模型，在总费用最小的目标下，使决策人能够决定在哪几个地点设厂，生产能力又为多大？

表1.5

解　从表1.5可知，每年零件产量90万个，恰好是每年成品销售量30万个的3倍，用两个双下标决策变量会使模型的建立容易一些，所以设：

xij表示每年由产地i运往建厂地j的零件数量(万个)，其中i=A、B、C；j=A、B、C；i≠j。

yjk表示每年由建厂地j运到销售地k的成品数量(万个)，其中j=A、B、C；k=A、B。

目标为总费用最小，则有目标函数：

针对约束条件方程组有如下分析：

各地的零件数量应该为本地生产加上外地运来的零件，再减去运往外地的零件数量，其应该等于成品数量的3倍，则有约束条件方程：

式中出现了xBA，又出现了xAB，看起来是矛盾的，但在决策时预先不知道哪一个方向是有利的方向，因此要把这两种可能都考虑进去。由于目标函数是求生产成本最小，因此不可能产生对流运输的现象。

同理还有如下约束条件方程：

各工厂运到销售地A、B的成品数量应满足销售地A、B的销售量，则有约束条件方程：

如果在B地设厂，每年的生产规模受限制，则有约束条件方程：最后有非负约束：

则此问题的线性规划模型为