在这一节里我们将讨论非自治微分系统

x′=X（t，x）， （t，x）∈R¹⁺ⁿ （7.5.1）

何时等价于一个自治微分系统

x′=Y（x）. （7.5.2）

这样非自治系统解的性态可由自治系统解的性态决定.

在本节里我们总假设所考虑的微分系统的右端函数连续可微，并保证其Cauchy问题的解存在唯一.

引理7.5.1 若微分系统（7.5.1）等价于自治系统（7.5.2），则Y（x）=X（0，x）.

证 设系统（7.5.1）与系统（7.5.2）等价，其反射函数为F（t，x），则有

将前两式相减得

F_x（X（t，x）-Y（x））+X（-t，F）-Y（F）=0.

令t=0，注意F_x（0，x）=E，由此即得引理的结论成立.

在下面我们总假设

p（0，x，y）=0， q（0，x，y）=0.

引理7.5.2 设F=（F₁（t，x，y），F₂（t，x，y））^T为微分系统

的反射函数，并满足

则微分系统

等价于微分系统（7.5.3）.并且当p（t+2ω，x，y）=p（t，x，y），q（t+2ω，x，y）=q（t，x，y），F（t+2ω，x，y）=F（t，x，y）时，微分系统（7.5.3）和系统（7.5.5）的所有在[-ω，ω]上有意义的解皆为4ω-周期解.

证 由上假设易看出系统（7.5.3）与系统（7.5.5）具有相同的反射函数，从而它们等价.再由第2章定理2.1.3可得引理的结论成立.

由该引理的结论可知，若系统（7.5.5）等价于系统（7.5.3），则我们可利用自治系统解的性态来研究非自治系统解的性态.

定理7.5.1 设F=（F₁（t，x，y），F₂（t，x，y））T为微分系统（7.5.3）的反射函数，函数m（t，x，y）满足

m（t，x，y）+m（-t，F₁，F₂）=0. （7.5.6）

则微分系统

等价于微分系统（7.5.3）.

证 由于系统（7.5.3）为自治系统，则它是一个简单微分系统，从而，.令p=mp₀，q=mq₀，则由式（7.5.6）得式（7.5.4）满足，从而由引理7.5.2得定理的结论成立.

推论7.5.1 设u（x，y）=c（c为常数）为微分系统（7.5.3）的一个首次积分，，（这里α_i（t）为任意连续可微的奇函数，f_i为连续可微函数，i=1，2，…，n），则此时微分系统（7.5.7）等价于系统（7.5.3）.(www.daowen.com)

证 由定理7.5.1知，我们只需验证式（7.5.6）成立即可.事实上，由于u（x，y）=c为系统（7.5.3）的首次积分，则对其任一解（x（t），y（t））有

u（x（t），y（t））=c=u（x（-t），y（-t）），

即u（x，y）=u（F₁，F₂），由此即可推得式（7.5.6）成立.

注7.5.1 对于Hamilton系统，，我们知道其一个首次积分为H（x，y）=c，则由推论7.5.1可得，该系统等价于非自治系统

这里α_i，f_i与推论7.5.1中的相同.

注7.5.2 对于中心二次微分系统.

这里δ，l，m，n，a，b为常数.当它以（0，0）为中心时，由参考文献[4-7]我们总可以求出其一个首次积分，应用推论7.5.1，我们就可以推出与其等价的非自治微分系统周期解的性态.例如

等价于

其中，α_i（t）和f_i（i=1，2，…，k）与推论7.5.1中相同.且当α_i（t+2ω）=α_i（t）时，该非自治系统具有无穷多个2ω-周期解.

在下面定理中我们简记：

定理7.5.2 假设pq₀-qp₀≠0，u（x，y）=c为微分系统（7.5.3）的一个首次积分，则若微分系统（7.5.5）与系统（7.5.3）等价，则有

反之，若式（7.5.8）和式（7.5.9）成立，，

则微分系统（7.5.3）与系统（7.5.5）等价.

证 若微分系统（7.5.5）与系统（7.5.3）等价，则有

又由于微分系统（7.5.3）为自治系统，则

从而

由方程（7.5.12）和方程（7.5.14）得

另一方面，又由于u（x，y）=c为系统（7.5.3）的首次积分，则

u（x，y）=u（F₁，F₂）. （7.5.16）

由此得

将式（7.5.15）代入式（7.5.17）即得

从而定理的必要条件成立.

又当式（7.5.10），式（7.5.11）成立时，有式（7.5.13）～式（7.5.14）成立，从而式（7.5.12）成立，故系统（7.5.5）与系统（7.5.3）等价.

关于与常系数线性系统等价的微分系统类的问题可参见文献[150]，这里不再累赘了.