由定理7.1.1知,若能求出
Δt+ΔxX=XxΔ (7.2.1)
的解Δk(t,x),则
与
等价.
例如,若X(t,x)=0,则等价,这里αk(t)(k=1,2,…,m)为任意连续可微的奇函数.
一般情况要求出式(7.2.1)的解是非常困难的,在求不出解的情况,且不知道系统(7.2.3)的反射函数的表达式的前提下,又如何来构建一个微分系统(7.2.2),使得它与系统(7.2.3)等价呢?下面将讨论这个问题.
下面我们给出构造(7.2.2)的步骤
1.构造函数
Δ(0)(t,x)∶=Y(t,x)-X(t,x),
Δ(i+1)(t,x)∶=Δt(i)+Δx(i)X-XxΔ(i),(i=0,1,2,…m)
2.寻找m个纯量函数b0(t),b1(t),…,bm-1(t)使得
b0(t)Δ(0)(t,x)+b1(t)Δ(1)(t,x)+…+bm-1(t)Δ(m-1)(t,x)+Δ(m)=0 (7.2.4)
成立.
由此可选择ln>m,xr=(x1r,x2r,…,xnr)为任一点,有
b0(t)Δ(0)(t,xr)+…+bm-1(t)Δ(m-1)(t,xr)+Δ(m)(t,xr)=0 (r=1,2,…,l).
3.求解式(7.2.4),若式(7.2.4)没有解,则就不具有形式(7.2.2),然后我们选择更大的m,重复上面同样步骤.现在我们假设式(7.2.4)有解b0,b1,…,bm-1.
4.寻找奇的纯量线性无关的函数α1(t),α2(t),…,αm(t)使得下面等式
b0(t)α(t)+b1(t)α′(t)+…+bm-1(t)α(m-1)(t)+αm(t)=0,
-b0(-t)α(t)+b1(-t)α′(t)+…+bm-1(-t)α(m-1)(t)+(-1)mαm(t)=0
成立.(www.daowen.com)
5.从下面代数方程组中解出我们所需要的Δ1(t,x),Δ2(t,x),…,Δm(t,x),
6.若由式(7.2.5)所得的Δ1(t,x),Δ2(t,x),…,Δm(t,x)满足式(7.2.1),
则
与等价.这个结论由定理7.1.3推得.
例7.2.1
则
要使上式右端为零向量,只要
b0sint+b1cost=sint, b0sin3t+3b1cos3t=9sin3t,
即取
b0α+α′b1+α″=0,
即
解该方程得α1=sint,α2=sin3t.
解代数方程组
得
易验证,Y(t,x)=X(x)+sintΔ1+sin3tΔ2,且
Δ1t+Δ1xX-XxΔ1=0,
Δ2t+Δ2xX-XxΔ2=0.
即=Y(t,x)与=X(x)等价.
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