理论教育 等价系统构造-微分系统反射函数理论及应用

等价系统构造-微分系统反射函数理论及应用

时间:2023-11-25 理论教育 版权反馈
【摘要】:下面将讨论这个问题.下面我们给出构造的步骤1.构造函数Δ(t,x)∶=Y(t,x)-X(t,x),Δ(i+1)(t,x)∶=Δt+ΔxX-XxΔ,(i=0,1,2,…+bm-1Δ(m-1)(t,x)+Δ=0 成立.由此可选择ln>m,xr=(x1r,x2r,…,bm-1.4.寻找奇的纯量线性无关的函数α1,α2,…,Δm(t,x),6.若由式所得的Δ1(t,x),Δ2(t,x),…

等价系统构造-微分系统反射函数理论及应用

由定理7.1.1知,若能求出

Δt+ΔxX=XxΔ (7.2.1)

的解Δktx),则

等价.

例如,若Xtx=0,则978-7-111-47659-7-Chapter07-43.jpg等价,这里αkt)(k=1,2,…,m)为任意连续可微的奇函数.

一般情况要求出式(7.2.1)的解是非常困难的,在求不出解的情况,且不知道系统(7.2.3)的反射函数的表达式的前提下,又如何来构建一个微分系统(7.2.2),使得它与系统(7.2.3)等价呢?下面将讨论这个问题.

下面我们给出构造(7.2.2)的步骤

1.构造函数

Δ(0)tx)∶=Ytx)-Xtx),

Δi+1)tx)∶=Δti+Δxi)X-XxΔi,(i=0,1,2,…m

2.寻找m个纯量函数b0t),b1t),…,bm-1t)使得

b0tΔ(0)tx)+b1tΔ(1)tx)+…+bm-1tΔm-1)tx)+Δm=0 (7.2.4)

成立.

由此可选择lnmxr=(x1rx2r,…,xnr)为任一点,有

b0tΔ(0)txr)+…+bm-1tΔm-1)txr)+Δmtxr)=0 (r=1,2,…,l.

3.求解式(7.2.4),若式(7.2.4)没有解,则978-7-111-47659-7-Chapter07-44.jpg就不具有形式(7.2.2),然后我们选择更大的m,重复上面同样步骤.现在我们假设式(7.2.4)有解b0b1,…,bm-1.

4.寻找奇的纯量线性无关的函数α1t),α2t),…,αmt)使得下面等式

b0tαt)+b1tα′t)+…+bm-1tαm-1)t)+αmt)=0,

-b0(-tαt)+b1(-tα′t)+…+bm-1(-tαm-1)t)+(-1)mαmt)=0

成立.(www.daowen.com)

5.从下面代数方程组中解出我们所需要的Δ1tx),Δ2tx),…,Δmtx),

6.若由式(7.2.5)所得的Δ1tx),Δ2tx),…,Δmtx)满足式(7.2.1),

978-7-111-47659-7-Chapter07-47.jpg等价.这个结论由定理7.1.3推得.

例7.2.1

要使上式右端为零向量,只要

b0sint+b1cost=sintb0sin3t+3b1cos3t=9sin3t

即取

解方程

b0α+α′b1+α″=0,

解该方程得α1=sintα2=sin3t.

解代数方程组

易验证,Ytx)=Xx)+sin1+sin32,且

Δ1t+Δ1xX-XxΔ1=0,

Δ2t+Δ2xX-XxΔ2=0.

978-7-111-47659-7-Chapter07-54.jpg=Ytx)与978-7-111-47659-7-Chapter07-55.jpg=Xx)等价.

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