考虑多项式微分系统:
(6.2.1)
其中ai(t),bi(t)(i=1,2,…,n)在R上连续可微,并保证该系统的初值问题的解存在唯一.
本节主要是讨论对于系统(6.2.1)满足定理6.1.7中的条件(6.1.14)和条件(6.1.15)的函数F(t,x)的结构形式,并应用它建立多项式微分系统(6.2.1)与Bernoulli方程之间的等价关系,从而应用Bernoulli方程解的性态去研究多项式微分系统(6.2.1)解的性质.
在本节,我们简记
记号“a≠0”表示在t=0的充分小的去心领域内a非零.
对于系统(6.2.1)关系式(6.1.14)等价于
A0+A1F+A2F2=0. (6.2.2)
这里
引理6.2.1 若F(0,x)≡x.则
A10(0)+A01(0)=0; A02(0)+A11(0)+A2(0)=0. (6.2.3)
证 在式(6.2.2)中取t=0可得对任意x
A01(0)x+A02(0)x2+(A10(0)+A11(0)x)x+A2(0)x2≡0.
由此得式(6.2.3)成立.
在本节中,我们总假定式(6.2.3)成立.
引理6.2.2 对微分系统(6.2.1),若A2≠0,存在.则
证 利用关系式(6.2.2),可得
由F(0,x)≡x,可得引理6.2.2的结论正确.
定理6.2.1 若引理6.2.2的条件满足且函数在包含t=0的区间上连续且又若F是式(6.1.14)和式(6.1.15)的一个解,则F=f0(t)+f1(t)x.
证 由于
x′=P(t,x,F)=p0+p1F+p2F2, (6.2.5)
这里
p0=a1x+a2x2, p1=a2+a4x,p2=a5.
由式(6.1.15)可知,F(t,x)是方程(6.2.5)的反射函数.因此,对方程(6.2.5)的任意解x(t)有
这里
对式(6.2.2)沿着方程(6.2.5)的解求全导数得
A0t+A0xP(t,x,F)+(A1t+A1xP(t,x,F))F+A2tF2-A1P(-t,F,x)-2A2P(-t,F,x)=0,
即
B0+B1F+B2F2+B3F3=0, (6.2.6)
这里
由于A2≠0.由式(6.2.2)得
将上面的关系式代入式(6.2.6)得
C0+C1F=0. (6.2.7)
这里
情形1.若C1≠0,则由前面的表达式,可知C0是一个关于x的三次多项式,C1是一个关于x的二次多项式.将它们代入式(6.2.2)得
C1(A0C1-C0A1)=-A2C20.
由此可知C0能够被C1整除,即F2=∑3i=0fixi.将它代入式(6.2.2)并比较等式两边x同次幂的系数,可得f1=0,i=2,3.因此,F=f0(t)+f1(t)x.
情形2.若C1≡0,由式(6.2.7)可知C0≡0.记,,Δ=u21-4u0.
通过简单计算得
应用式(6.2.8)和式(6.2.9)计算可得
因为(www.daowen.com)
这里
由引理6.2.2和式(6.2.4)可得.在等式(6.2.10)中取x=x0可得
由线性微分方程初值问题解的唯一性,可知W(t)≡0.因此·(x-x0)2.从而解方程(6.2.2)可得
且综上所述,定理得证.
定理6.2.2 若A2≡0,A1≠0,,则F=-k(t)x.
定理6.2.3 若A2≡0,A1≠0,且,则F=f0(t)+f1(t)x或
证 由式(6.2.2)可得
由于F(t,x)是微分系统(6.2.5)的反射函数,因此
F(-t,F)=x,F(0,x)=x.
故有
将代入到上面的恒等式中,并且比较方程两边x同次幂的系数可得
由上面的式子容易推得定理的结论成立.
定理6.2.4 设
则(x(t),x(t)eα)是微分系统(6.2.1)的解,这里x(t)是Bernoulli方程
x′=(a1+a2eα)x+(a3+a4eα+a5e2α)x2 (6.2.11)的一个解.且若ai(t+2ω)=ai(t),bi(t+2ω)=bi(t),i=1,2,…,5,则微分系统(6.2.1)的所有形如(x(t),x(t)eα)的解都是2ω⁃周期解.
证 在定理的假设下,容易验证函数F(t,x)=eα(t)是方程(6.1.14)和方程(6.1.15)的解.由定理6.1.7可知(x(t),x(t)eα(t))是系统(6.2.1)的解,这里x(t)是Bernoulli方程(6.2.11)的一个解.当系统(6.2.1)为2ω⁃周期系统时,由上面的条件,可得α(t)是一个2ω⁃周期的奇函数.因此,α(-ω)=0,F(-ω,x)≡x,且由定理6.1.7可得系统(6.1.11)定义在[-ω,ω]上的所有解x(t)都为2ω⁃周期解,系统(6.2.1)的所有形如(x(t),x(t)eα(t))的解是2ω⁃周期解.
在定理6.2.4中取α=0,我们得到下面的推论.
推论6.2.1 假设
则(x(t),x(t))是微分系统(6.2.1)的解,这里x(t)是Bernoulli方程
x′=(a1+a2)x+(a3+a4+a5)x2
的解.且若系统(6.2.1)是2ω⁃周期系统,则系统(6.2.1)的所有形如(x(t),x(t))的解是2ω⁃周期解.
例6.2.1 微分系统
有解(x(t),x(t)),这里x(t)是方程x′=2xsint+x2sin3t的一个解,且这个解为2π⁃周期解.
定理6.2.5 若;
则是微分方程
的反射函数.且是微分系统(6.2.1)的解,这里x(t)是伯努利方程(6.2.12)的解.
证 在定理的假设下,容易验证函数是方程(6.1.14)和(6.1.15)的解.由定理6.1.7可得该定理的结论正确.
推论6.2.2 若定理6.2.5的所有条件成立且系统(6.2.1)为2ω⁃周期系统.
则:
1)若b(-ω)≠0,则系统(6.2.1)存在两个2ω⁃周期解,即
这里φ(t)是柯西问题
的解.
2)若b(-ω)=0,a(-ω)≠c(-ω),则系统(6.2.1)只有一个2ω⁃周期解,即x=0,y=0.
3)若b(-ω)=0,a(-ω)=c(-ω),则微分系统(6.2.1)有无穷多个2ω⁃周期解,x=φ(t),,这里φ(t)是Canchy问题
的解.
证 由于微分方程(6.2.1)和方程(6.2.12)是2ω⁃周期,则由定理6.2.5可知是方程(6.2.12)的Poincaré映射,因此,x=ϕ(t,-ω,x0)是方程(6.2.12)的2ω⁃周期解,当且仅当,x0是方程F(-ω,x0)=x0的一个解,即x0(c(-ω)-a(-ω)-b(-ω)x0)=0.由此可得推论6.2.2的结论正确.
例6.2.2 微分系统
有无穷多个2π⁃周期解,即x=φ(t),,这里φ(t)是方程x′=xcost+e-sintx2的解.α(t),β(t)是任意连续可微奇的2π⁃周期函数.
综上所述,我们发现在一定的条件下二次多项式微分系统(6.2.1)的解的定性性态有时取决于Bernoulli方程解的性态.同理可讨论一个2n⁃维系统的解与n⁃维系统解之间的关系.
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