理论教育 微分系统的反射函数理论与伯努利方程关系

微分系统的反射函数理论与伯努利方程关系

时间:2023-11-25 理论教育 版权反馈
【摘要】:考虑多项式微分系统:其中ai,bi(i=1,2,…

微分系统的反射函数理论与伯努利方程关系

考虑多项式微分系统:

(6.2.1)

其中ait),bit)(i=1,2,…,n)在R上连续可微,并保证该系统的初值问题的解存在唯一.

本节主要是讨论对于系统(6.2.1)满足定理6.1.7中的条件(6.1.14)和条件(6.1.15)的函数Ftx)的结构形式,并应用它建立多项式微分系统(6.2.1)与Bernoulli方程之间的等价关系,从而应用Bernoulli方程解的性态去研究多项式微分系统(6.2.1)解的性质.

在本节,我们简记

记号“a≠0”表示在t=0的充分小的去心领域内a非零.

对于系统(6.2.1)关系式(6.1.14)等价于

A0+A1F+A2F2=0. (6.2.2)

这里

引理6.2.1F(0,x)≡x.

A10(0)+A01(0)=0; A02(0)+A11(0)+A2(0)=0. (6.2.3)

在式(6.2.2)中取t=0可得对任意x

A01(0)x+A02(0)x2+(A10(0)+A11(0)xx+A2(0)x2≡0.

由此得式(6.2.3)成立.

在本节中,我们总假定式(6.2.3)成立.

引理6.2.2 对微分系统(6.2.1),若A2≠0,978-7-111-47659-7-Chapter06-50.jpg存在.

利用关系式(6.2.2),可得

F(0,x)≡x,可得引理6.2.2的结论正确.

定理6.2.1 若引理6.2.2的条件满足且函数978-7-111-47659-7-Chapter06-53.jpg在包含t=0的区间上连续且978-7-111-47659-7-Chapter06-54.jpg又若F是式(6.1.14)和式(6.1.15)的一个解,则F=f0t)+f1tx.

由于

x′=PtxF)=p0+p1F+p2F2, (6.2.5)

这里

p0=a1x+a2x2p1=a2+a4xp2=a5.

由式(6.1.15)可知,Ftx)是方程(6.2.5)的反射函数.因此,对方程(6.2.5)的任意解xt)有

这里

对式(6.2.2)沿着方程(6.2.5)的解求全导数得

A0t+A0xPtxF)+(A1t+A1xPtxF))F+A2tF2-A1P(-tFx)-2A2P(-tFx)=0,

B0+B1F+B2F2+B3F3=0, (6.2.6)

这里

由于A2≠0.由式(6.2.2)得

将上面的关系式代入式(6.2.6)得

C0+C1F=0. (6.2.7)

这里

情形1.C1≠0,则978-7-111-47659-7-Chapter06-60.jpg由前面的表达式,可知C0是一个关于x的三次多项式,C1是一个关于x的二次多项式.将它们代入式(6.2.2)得

C1A0C1-C0A1)=-A2C20.

由此可知C0能够被C1整除,即F2=∑3i=0fixi.将它代入式(6.2.2)并比较等式两边x同次幂的系数,可得f1=0,i=2,3.因此,F=f0t)+f1tx.

情形2.C1≡0,由式(6.2.7)可知C0≡0.978-7-111-47659-7-Chapter06-61.jpg978-7-111-47659-7-Chapter06-62.jpgΔ=u21-4u0.

通过简单计算得

应用式(6.2.8)和式(6.2.9)计算可得

因为(www.daowen.com)

这里

由引理6.2.2和式(6.2.4)可得978-7-111-47659-7-Chapter06-67.jpg.在等式(6.2.10)中取x=x0可得

线性微分方程初值问题解的唯一性,可知Wt)≡0.因此978-7-111-47659-7-Chapter06-69.jpg·(x-x02.从而解方程(6.2.2)可得

978-7-111-47659-7-Chapter06-71.jpg综上所述,定理得证.

定理6.2.2A2≡0,A1≠0,978-7-111-47659-7-Chapter06-72.jpg,则F=-ktx.

定理6.2.3A2≡0,A1≠0,且978-7-111-47659-7-Chapter06-73.jpg,则F=f0t)+f1tx978-7-111-47659-7-Chapter06-74.jpg978-7-111-47659-7-Chapter06-75.jpg

由式(6.2.2)可得

由于Ftx)是微分系统(6.2.5)的反射函数,因此

F(-tF)=xF(0,x)=x.

故有

978-7-111-47659-7-Chapter06-78.jpg代入到上面的恒等式中,并且比较方程两边x同次幂的系数可得

由上面的式子容易推得定理的结论成立.

定理6.2.4

则(xt),xt)eα)是微分系统(6.2.1)的解,这里xt)是Bernoulli方程

x′=(a1+a2eαx+(a3+a4eα+a5e2αx2 (6.2.11)的一个解.且若ait+2ω)=ait),bit+2ω)=bit),i=1,2,…,5,则微分系统(6.2.1)的所有形如(xt),xt)eα)的解都是2ω⁃周期解.

在定理的假设下,容易验证函数Ftx)=eαt是方程(6.1.14)和方程(6.1.15)的解.由定理6.1.7可知(xt),xt)eαt)是系统(6.2.1)的解,这里xt)是Bernoulli方程(6.2.11)的一个解.当系统(6.2.1)为2ω⁃周期系统时,由上面的条件,可得αt)是一个2ω⁃周期的奇函数.因此,α(-ω)=0,F(-ωx)≡x,且由定理6.1.7可得系统(6.1.11)定义在[-ωω]上的所有解xt)都为2ω⁃周期解,系统(6.2.1)的所有形如(xt),xt)eαt)的解是2ω⁃周期解.

在定理6.2.4中取α=0,我们得到下面的推论.

推论6.2.1 假设

则(xt),xt))是微分系统(6.2.1)的解,这里xt)是Bernoulli方程

x′=(a1+a2x+(a3+a4+a5x2

的解.且若系统(6.2.1)是2ω⁃周期系统,则系统(6.2.1)的所有形如(xt),xt))的解是2ω⁃周期解.

例6.2.1 微分系统

有解(xt),xt)),这里xt)是方程x′=2xsint+x2sin3t的一个解,且这个解为2π周期解.

定理6.2.5978-7-111-47659-7-Chapter06-83.jpg

978-7-111-47659-7-Chapter06-85.jpg是微分方程

的反射函数.978-7-111-47659-7-Chapter06-87.jpg是微分系统(6.2.1)的解,这里xt)是伯努利方程(6.2.12)的解.

在定理的假设下,容易验证函数978-7-111-47659-7-Chapter06-88.jpg是方程(6.1.14)和(6.1.15)的解.由定理6.1.7可得该定理的结论正确.

推论6.2.2 若定理6.2.5的所有条件成立且系统(6.2.1)为2ω⁃周期系统.

则:

1)若b(-ω)≠0,则系统(6.2.1)存在两个2ω⁃周期解,即

这里φt)是柯西问题

的解.

2)若b(-ω)=0,a(-ω)≠c(-ω),则系统(6.2.1)只有一个2ω⁃周期解,即x=0,y=0.

3)若b(-ω)=0,a(-ω)=c(-ω),则微分系统(6.2.1)有无穷多个2ω⁃周期解,x=φt),978-7-111-47659-7-Chapter06-91.jpg,这里φt)是Canchy问题

的解.

由于微分方程(6.2.1)和方程(6.2.12)是2ω⁃周期,则由定理6.2.5可知978-7-111-47659-7-Chapter06-93.jpg是方程(6.2.12)的Poincaré映射,因此,x=ϕt,-ωx0)是方程(6.2.12)的2ω⁃周期解,当且仅当,x0是方程F(-ωx0)=x0的一个解,即x0c(-ω)-a(-ω)-b(-ωx0)=0.由此可得推论6.2.2的结论正确.

例6.2.2 微分系统

有无穷多个2π周期解,即x=φt),978-7-111-47659-7-Chapter06-95.jpg,这里φt)是方程x′=xcost+e-sintx2的解t),βt)是任意连续可微奇的2π周期函数.

综上所述,我们发现在一定的条件下二次多项式微分系统(6.2.1)的解的定性性态有时取决于Bernoulli方程解的性态.同理可讨论一个2n⁃维系统的解与n⁃维系统解之间的关系.

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