对于一般微分系统

若我们取

则系统（5.4.1）可改写成

这一节我们将讨论何时微分系统（5.4.2）具有满足恒等式

F²₁（t，x，y）+F²₂（t，x，y）≡α²（t）（x²+y²） （5.4.3）

的反射函数F（t，x，y）=（F₁（t，x，y），F₂（t，x，y））^T.

为此我们这一节中总假定a（t，x，y），b（t，x，y）在R³上连续可微，α（t）-连续可导，t∈R，且α（t）α（-t）=1=α（0）.

在本节中我们简记a∶=a（t，x，y）；a∶=a（-t，F₁（t，x，y），F₂（t，x，y））等等.

引理5.4.1 微分系统（5.4.2）的反射函数为

的充要条件为

证 由反射函数的基本关系式得，式（5.4.4）为式（5.4.2）的反射函数的充要条件为

即

又

F²_1+F22=α²（x²+y²），

由此即可推得式（5.4.5）成立.

定理5.4.1 设m（t），m_k（t）为连续函数t∈R，k=1，2，…，n.并且对∀k满足

这里_μk是一个任意连续的奇函数，b（t，x，y）为R³上连续可微函数，则微分系统

的反射函数为

其中φ=φ（t，x，y）满足条件

显然在定理的条件下，式（5.4.5）成立，故上述结论成立.

推论5.4.1 假设定理5.4.1的条件成立，微分系统（5.4.6）是关于t的2ω-周期系统，并且，则微分系统（5.4.6）的零解稳定而不渐近稳定.

证 由于系统（5.4.6）的反射函数（5.4.7）满足

由此得，系统（5.4.6）的Poincaré映射F（-ω，x，y）将圆x²+y²=c²变换到自身，且（0，0）点为其不动点，并且稳定而不渐近稳定[23].

推论5.4.2 假设

1）定理5.4.1的条件成立；

2）微分系统（5.4.6）为t的2ω-周期系统；

其中，rk（t）为任意连续可微的奇函数（k=1，2，…，n）.则

1）微分系统（5.4.6）在[-ω，ω]上的解为2lω-周期，当且仅当，

2）当时，微分系统（5.4.6）存在唯一周期解即x=0，y=0.

证 由于在上面的条件下，微分系统的反射函数为式（5.4.7），其中

因此F（-lω，x，y）=（x，y）T，当且仅当φ（-lω）=2kπ，即，由此及反射函数的基本引理2.1.1得推论的结论成立.

定理5.4.2 对于微分系统（5.4.2）若

1）b=b（t，x，y）连续可微；

2）a=m（t）+n（t）cosln（x²+y²）+s（t）sinln（x²+y²），

其中

n（t）+n（-t）cosβ（t）-s（-t）sinβ（t）≡0，

s（t）+n（-t）sinβ（t）+s（-t）cosβ（t）≡0，

则微分系统（5.4.2）的反射函数为式（5.4.4），其中φ满足条件（5.4.8），此时该反射函数满足式（5.4.3）.(www.daowen.com)

该定理的结论可以根据定理的条件直接验证函数（5.2.4）满足反射函数的基本关系式即可.

注5.4.1 若取n（t）=δ（t）sinβ（t），s（t）=δ（-t）-δ（t）cosβ（t），m（t），δ（t）为任意连续可微函数，则定理5.4.2中条件2）成立.

定理5.4.3 若，，并且，

则微分系统（5.4.2）的反射函数为

证 由定理条件得

即

即

又

由反射函数的基本关系式得，式（5.4.9）为系统（5.4.2）的反射函数.

注5.4.2 在定理5.4.3的条件下，微分系统（5.4.2）为以式（5.4.9）为反射函数的简单微分系统.

定理5.4.4 若定理5.4.3的条件满足，则函数（5.4.4）为微分系统（5.4.1）的反射函数当且仅当式（5.4.1）可表示成

其中R（t，x，y）为某连续可微函数，（t，x，y）∈R³.

证 设函数（5.4.4）为系统（5.4.1）的反射函数，则

另一方面，由定理5.4.3得

由于

F（-t，F₁，F₂）=（x，y）^T，

则 F_x（-t，F₁，F₂）=F_x^-1.

取

由此即可推得

故定理的必要性成立

反之，若系统（5.4.1）可表示成式（5.4.10）的形式，则由定理2.2.2易知，式（5.4.4）为其反射函数.

定理5.4.5 若定理5.4.3的条件满足，微分系统（5.4.10）为t的2ω-周期系统，则当a（-ω，x，y）≠0时，该系统具有唯一的2ω-周期解且稳定.当a（-ω，x，y）=0时，该系统在[-ω，ω]上有意义的解皆为2ω-周期解.

证 由于此时微分系统（5.4.10）的Poincaré映射为T（x，y）=F（-ω，x，y），则等价于

由于其系数行列式为

W=（cosφ（-ω，x，y）-1）²+sin²φ（-ω，x，y），由此得W=0，当且仅当

sinφ（-ω，x，y）=0， cosφ（-ω，x，y）=1，

即

由此得当a（-ω，x，y）=0时，F（-ω，x，y）≡（x，y）T.当a（-ω，x，y）≠0时，W≠0，从而F（-ω，x，y）≡（x，y）T只有唯一解，再由反射函数的基本引理2.1.1得定理的结论成立.

例5.4.1 微分系统

具有反射函数

它也是微分系统

F_x^-1R（t，x，y）-R（-t，F₁，F₂）

的反射函数.这里R（t，x，y）为任意连续可微函数，（t，x，y）∈R³.除此之外，若R（t+2π，x，y）=R（t，x，y），则上述微分系统在[-π，π]上有定义的解皆为2π-周期解.

同理我们还可以讨论微分系统（5.4.1）的反射函数（5.4.3）满足关系式

并已得出一些好的结论，见参考文献[137].

在参考文献[147]中，我们讨论了何时多项式系统

具有满足F²₁+F²₂=α²（x²+y²）的反射函数的充要条件，并得出该非线性微分系统周期解存在及稳定性的判定定理.