考虑多项式微分系统
这里pi(t,x),qj(t,x)(i=0,1,2;j=0,1,2,…,n)为连续可微函数且保证微分系统(5.2.1)的Cauchy问题解存在且唯一.(在参考文献[145]中讨论了n=2的情形)
这一节我们简记:
下文中提到的“pi(t,x)≠0”表示在t=0的充分小的去心领域中pi(t,x)≠0.
在这一节我们将讨论当系统(5.2.1)的反射函数F(t,x,y)=(F1(t,x,y),F2(t,x,y))T中的F1(t,x,y)=x时,F2(t,x,y)的结构形式.
引理5.2.1 若F1=x,则
pi(0,x)=0, i=0,1,2. (5.2.2)
证 由于F(t,x,y)=(x,F2)T为系统(5.2.1)的反射函数,则
P(t,x,y)+P(-t,x,F2)≡0,
即
A0+A1F2+A2F22≡0, (5.2.3)
其中
在式(5.2.3)中,取t=0,得
p0(0,x)+p1(0,x)y+p2(0,x)y2≡0 (∀x,y)
由此即可推出式(5.2.2)成立.
在这一节里我们总假设式(5.2.2)成立.
引理5.2.2 对于系统(5.2.1),若F1=x,且存在,则
证 由式(5.2.3),可得
由于F2(0,x,y)=y,由此及上式不难推出引理5.2.2的结论成立.
引理5.2.3 若
F22=a0+b0F2, (5.2.4)
则
F22+k=ak+bkF2.(5.2.5)
其中
为取整函数.
证 我们用数学归纳法来证明上述结论成立.由式(5.2.4)得
F23=a0F2+b0F22=a0b0+(a0+b20)F2=a1+b1F2,即式(5.2.5)当k=1时成立.
现假设k=m时,式(5.2.5)成立.即
F22+m=am+bmF2.下证,k=m+1时,式(5.2.5)也成立.
事实上,由上式得
F22+m+1=anF2+bnF22=a0bm+(b0bm+am)F2=am+1+bm+1F2,其中
am+1=a0bm,
由于
Cjm+1-j+Cjm-+11-j=Cjm+2-j,
则
即式(5.2.5)对k=m+1也成立.从而引理的结论成立.
引理5.2.4 若ek=2bk-1-b0bk-2,k=1,2,3,…
则
证 由引理5.2.3,计算可得
即引理5.2.4的结论成立.
引理5.2.5 若Δk(t,x,y)=2a0ek-1+b0ek,则
其中Δ(t,x,y)=4a0+b02.
证 由引理5.2.4,我们可得
由于
则
同理可得
则
该引理得证.
定理5.2.1 对于系统(5.2.1),若F1=x,则
(1)若p2≡0,p1≠0,则有F2=f20(t,x)+f21(t,x)y;
(2)若p2≠0,且存在,则F2=f20(t,x)+f21(t,x)y.这里f20(t,x),f21(t,x)是R2上连续可微函数.
证 若p2≡0,p1≠0,由式(5.2.3),可得(www.daowen.com)
若p2≠0,将式(5.2.3)沿着系统(5.2.1)的解求导得
DA0+DA1F2+DA2F22-A1Q(-t,x,F2)-2A2Q(-t,x,F2)F2=0,
即
其中
由引理5.2.3得F22+k=ak+bkF2,k=1,2,…,n-1,ak,bk由式(5.2.6)表示,将此代入式(5.2.7)得
C0+C1F2=0, (5.2.8)
其中
C0=B0+B2a0+B3a1+…+Bn+1an-1; (5.2.9)
C1=B1+B2b0+B3b1+…+Bn+1bn-1. (5.2.10)次多项式,C1是关于y的次多项式.由式(5.2.8)得,把此式代入式(5.2.3)得
C1(A0C1-A1C0)=-A2C20,
由此可推出C1/C0或C1/A2,从而
将此式代入式(5.2.3),并比较等式两边y的同次幂系数得
因此F2=f20(t,x)+f21(t,x)y.
再由式(5.2.9)和式(5.2.10)计算可得
应用式(5.2.11)和式(5.2.12)计算可得
由引理5.2.5可得
又由于
其中.显然
再应用式(5.2.13)可得
这里R(t,x)是R2上连续可微函数.
又由引理5.2.2可得则由Cauchy问题
解的唯一性定理得w(t,x)≡0.
因此
从而由式(5.2.3)可解出
从而定理结论成立.
定理5.2.2 如果下列条件满足
则函数F=(x,f20(t,x)+f221(t,x)y)T为系统(5.2.1)的反射函数,其中当p2≡0,p1≠0,,时,
当p2≠0时,,时,
该定理的证明,只要验证F=(x,f20(t,x)+f21(t,x)y)T反射函数的基本关系式
成立即可,容易检验在定理的条件下,上式成立.
定理5.2.3 若定理5.2.2的条件满足,且系统(5.2.1)为关于t的2ω-周期系统,则该微分系统所有在[-ω,ω]上有意义的解皆为2ω-周期解.
证 由定理5.2.2知系统(5.2.1)的Poincaré映射为
T(x,y)=F(-ω,x,y)=(x,f20(-ω,x)+f21(-ω,x)y)T.
由于
f21(t,x)f21(-t,x)=1,f20(-t,x)+f20(t,x)f21(-t,x)=0.
则
α(t,x)+α(-t,x)=0,β(t,x)+β(-t,x)=0,
且
α(t,x)=α(t+2ω,x),β(t,x)=β(t+2ω,x),
从而有
α(-ω,x)=0,β(-ω,x)=0.
因此
F(-ω,x,y)≡(x,y)T.
故定理5.2.3的结论成立.
例5.2.1 微分系统
具有反射函数F(t,x,y)=(x,ye2sint)T,其中γi(t,x),δi(t,x)(i=0,1,2)为R2上任意连续可微的奇的2ω-周期函数.由定理5.2.3知,这个微分系统在[-ω,ω]上有意义的解皆为2ω-周期解.
例5.2.2 微分系统
具有反射函数F(t,x,y)=(x,F2)T,其中
F2=ye2sint+xsintesint(1+x2sin2t),
αi=αi(t,x),βj=βj(t,x)(i=0,1,2;j=0,1,…,n)为R2上任意连续可微函数.
又若αi,βi为t的2ω-周期函数,则由定理5.2.8知,该微分系统在[-ω,ω]上有意义的解皆为2ω-周期解.
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