理论教育 微分系统反射函数理论与应用

微分系统反射函数理论与应用

时间:2023-11-25 理论教育 版权反馈
【摘要】:考虑多项式微分系统这里pi(t,x),qj(t,x)(i=0,1,2;j=0,1,2,…,n)为R2上任意连续可微函数.又若αi,βi为t的2ω-周期函数,则由定理5.2.8知,该微分系统在[-ω,ω]上有意义的解皆为2ω-周期解.

微分系统反射函数理论与应用

考虑多项式微分系统

这里pitx),qjtx)(i=0,1,2;j=0,1,2,…,n)为连续可微函数且保证微分系统(5.2.1)的Cauchy问题解存在且唯一.(在参考文献[145]中讨论了n=2的情形)

这一节我们简记:

下文中提到的“pitx)≠0”表示在t=0的充分小的去心领域中pitx)≠0.

在这一节我们将讨论当系统(5.2.1)的反射函数Ftxy)=(F1txy),F2txy))T中的F1txy)=x时,F2txy)的结构形式.

引理5.2.1F1=x,则

pi(0,x)=0, i=0,1,2. (5.2.2)

由于Ftxy)=(xF2T为系统(5.2.1)的反射函数,则

Ptxy)+P(-txF2)≡0,

A0+A1F2+A2F22≡0, (5.2.3)

其中

在式(5.2.3)中,取t=0,得

p0(0,x)+p1(0,xy+p2(0,xy2≡0 (∀xy

由此即可推出式(5.2.2)成立.

在这一节里我们总假设式(5.2.2)成立.

引理5.2.2 对于系统(5.2.1),若F1=x,且978-7-111-47659-7-Chapter05-73.jpg存在,则

由式(5.2.3),可得

由于F2(0,xy)=y,由此及上式不难推出引理5.2.2的结论成立.

引理5.2.3

F22=a0+b0F2, (5.2.4)

F22+k=ak+bkF2.(5.2.5)

其中

978-7-111-47659-7-Chapter05-77.jpg为取整函数.

我们用数学归纳法来证明上述结论成立.由式(5.2.4)得

F23=a0F2+b0F22=a0b0+(a0+b20F2=a1+b1F2,即式(5.2.5)当k=1时成立.

现假设k=m时,式(5.2.5)成立.

F22+m=am+bmF2.下证,k=m+1时,式(5.2.5)也成立.

事实上,由上式得

F22+m+1=anF2+bnF22=a0bm+(b0bm+amF2=am+1+bm+1F2,其中

am+1=a0bm

由于

Cjm+1-j+Cjm-+11-j=Cjm+2-j

即式(5.2.5)对k=m+1也成立.从而引理的结论成立.

引理5.2.4ek=2bk-1-b0bk-2k=1,2,3,…

由引理5.2.3,计算可得

即引理5.2.4的结论成立.

引理5.2.5Δktxy)=2a0ek-1+b0ek,则

其中Δtxy)=4a0+b02.

由引理5.2.4,我们可得

由于

同理可得

该引理得证.

定理5.2.1 对于系统(5.2.1),若F1=x,则

(1)若p2≡0,p1≠0,则有F2=f20tx)+f21txy

(2)若p2≠0,且978-7-111-47659-7-Chapter05-88.jpg存在,则F2=f20tx)+f21txy.这里f20tx),f21tx)是R2上连续可微函数.

p2≡0,p1≠0,由式(5.2.3),可得(www.daowen.com)

p2≠0,将式(5.2.3)沿着系统(5.2.1)的解求导

DA0+DA1F2+DA2F22-A1Q(-txF2)-2A2Q(-txF2F2=0,

其中

由引理5.2.3得F22+k=ak+bkF2k=1,2,…,n-1,akbk由式(5.2.6)表示,将此代入式(5.2.7)得

C0+C1F2=0, (5.2.8)

其中

C0=B0+B2a0+B3a1+…+Bn+1an-1; (5.2.9)

C1=B1+B2b0+B3b1+…+Bn+1bn-1. (5.2.10)978-7-111-47659-7-Chapter05-92.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-93.jpg次多项式,C1是关于y978-7-111-47659-7-Chapter05-94.jpg次多项式.由式(5.2.8)得978-7-111-47659-7-Chapter05-95.jpg,把此式代入式(5.2.3)得

C1A0C1-A1C0)=-A2C20

由此可推出C1/C0C1/A2,从而

将此式代入式(5.2.3),并比较等式两边y的同次幂系数得

因此F2=f20tx)+f21txy.978-7-111-47659-7-Chapter05-98.jpg

再由式(5.2.9)和式(5.2.10)计算可得

应用式(5.2.11)和式(5.2.12)计算可得

由引理5.2.5可得

又由于

其中978-7-111-47659-7-Chapter05-103.jpg.显然

再应用式(5.2.13)可得

这里Rtx)是R2上连续可微函数.

又由引理5.2.2可得978-7-111-47659-7-Chapter05-106.jpg则由Cauchy问题

解的唯一性定理得wtx)≡0.

因此

从而由式(5.2.3)可解出

从而定理结论成立.

定理5.2.2 如果下列条件满足

则函数F=(xf20tx)+f221txyT为系统(5.2.1)的反射函数,其中当p2≡0,p1≠0,978-7-111-47659-7-Chapter05-111.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-112.jpg时,

p2≠0时,978-7-111-47659-7-Chapter05-114.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-115.jpg时,

该定理的证明,只要验证F=(xf20tx)+f21txyT反射函数的基本关系式

成立即可,容易检验在定理的条件下,上式成立.

定理5.2.3 若定理5.2.2的条件满足,且系统(5.2.1)为关于t的2ω-周期系统,则该微分系统所有在[-ωω]上有意义的解皆为2ω-周期解.

由定理5.2.2知系统(5.2.1)的Poincaré映射为

Txy)=F(-ωxy)=(xf20(-ωx)+f21(-ωxyT.

由于

f21txf21(-tx)=1,f20(-tx)+f20txf21(-tx)=0.

αtx)+α(-tx)=0,βtx)+β(-tx)=0,

αtx)=αt+2ωx),βtx)=βt+2ωx),

从而有

α(-ωx)=0,β(-ωx)=0.

因此

F(-ωxy)≡(xyT.

故定理5.2.3的结论成立.

例5.2.1 微分系统

具有反射函数Ftxy)=(xye2sintT,其中γitx),δitx)(i=0,1,2)为R2上任意连续可微的奇的2ω-周期函数.由定理5.2.3知,这个微分系统在[-ωω]上有意义的解皆为2ω-周期解.

例5.2.2 微分系统

具有反射函数Ftxy)=(xF2T,其中

F2=ye2sint+xsintesint(1+x2sin2t),

αi=αitx),βj=βjtx)(i=0,1,2;j=0,1,…,n)为R2上任意连续可微函数.

又若αiβit的2ω-周期函数,则由定理5.2.8知,该微分系统在[-ωω]上有意义的解皆为2ω-周期解.

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