在这一小节我们讨论微分系统
(ai∶=ai(t),bi∶=bi(t),i=1,2,…,5连续可微函数t∈R).当该系统的反射函数的第一分量为f(t)x时,其第二分量具有什么样的形式?同时给出了该微分系统解的第一分量为偶函数的充要条件.
设系统(5.1.1)具有反射函数:F(t,x,y)=(F1(t,x,y),F2(t,x,y))T.
引理5.1.1 若F1(t,x,y)=f(t)x,则
f′(0)+2a1(0)=0,ai(0)=0(i=2,3,4,5). (5.1.2)
证 若F1(t,x,y)=f(t)x,则由反射函数的基本关系式得
这里;等.令t=0,则有
f′(0)x(0)+2[a1(0)x(0)+a2(0)y(0)+a3(0)x2(0)+a4(0)x(0)y(0)+a5(0)y2(0)]∀x(0)≡,y(0)0.
由此推得引理的结论成立.
在这一节中,我们总假设条件(5.1.2)成立.记号a(t)≠0表示在t=0的某去心邻域里且t充分小成立.
引理5.1.2 若F1(t,x,y)=f(t)x, a5(t)≡0, a22(t)+a24(t)≠0,则F2(t,x,y)=g0(t,x)+g1(t,x)y,
其中g0(t,x),g1(t,x)为连续可微函数,(t,x)∈R2.
证 若F1(t,x,y)=f(t)x,则由式(5.1.3)得
若,则由此推得F2(t,x,y)=g0(t,x)+g1(t,x)y.若,但由引理的条件这是不可能的.从而引理得证.
引理5.1.3 若F1(t,x,y)=x,a5(t)≠0,如果,存在,则
证 若F1(t,x,y)=x,则由式(5.1.3)推得
由此可推得该引理的结论.
定理5.1.1 若F1(t,x,y)=f(t)x,a5(t)≠0,且,存在,则F2(t,x,y)=g0(t)+g1(t)x+g2(t)y.(其中g0(t),g1(t),g2(t)为连续可微函数,t∈R).
证 设F1(t,x,y)=f(t)x,则由(5.1.3)得
对式(5.1.3)沿着式(5.3.1)的解求全导数得
由式(5.1.4)和式(5.1.5)计算得
这里
1)若B2(t,x,y)≠0,则由式(5.1.6)得由此及式(5.1.3)可推得
由上式得
将此式代入式(5.1.3)得在这种情况下定理得证.
2)若B2(t,x,y)≡0,则B1(t,x,y)≡0.当b5≠0,由B2(t,x,y)≡0,B1(t,x,y)≡0推得f(t)=1和
其中α∶=a5′+2a5b2-a2b5;β∶=2a5b4-a4b5.
由定理的条件及式(5.1.12)和式(5.1.13)推得a2=m(t)a5,a4=n(t)a5.由式(5.1.10)得a5=γ(t)eδ(t),这里
γ(t)+γ(-t)=0,
由式(5.1.7)和式(5.1.8)得,,其中k1(t)+k1(-t)=0,k2(t)+k2(-t)=0.
令;;;则
由引理5.1.3得u(0)=v(0)=w(0)=0.由式(5.1.7)~式(5.1.15)计算得
这是个齐线性方程组,由解的唯一性得u(t)=v(t)=w(t)≡0,从而Δ≡0.则由式(5.1.3)推得
当b2≡0时,可类似讨论.定理得证.
定理5.1.2 若a5(t)≠0,则1°若a2≠0且(www.daowen.com)
其中
c1=a1′+a21+a2b1,c2=a2′+a2a1+a2b2.
则
为微分系统(5.1.1)的反射函数.
2°若a2≡0且
其中
则F(t,x,y)=(fx,g1x+g2y)T为微分系统(5.1.1)的反射函数.
除此之外,若微分系统(5.1.1)为2ω-周期系统,则该系统在[-ω,ω]有定义的解x=x(t,-ω,x0,y0),y=y(t,-ω,x0,y0)是2ω-周期解,当且仅当,F(-ω,x0,y0)=(x0,y0)T.
证 当a2≠0,由条件(5.1.16)得
由条件(5.1.2)得
从而,由f(0)=1得由于F(0,x,y)=(x,y)T及
这里,即在a2≠0时,定理得证.在a2≡0时,同理可证.其余结论由第2章基本引理2.1.2可得.
例5.1.1 微分系统
(ai,bi,i=1,2,3,4连续可微的奇函数t∈R),具有反射函数F(t,x,y)=(x,e2sinty)T.若ai(t+2π)=ai(t),bi(t+2π)=bi(t),i=1,2,3,4则该系统在[-π,π]上有定义的解都是2π-周期函数.
当a5≡0和a4≠0时同理可得下面的结论:
定理5.1.3 若a5≡0及a4≠0,则1°若a2≠0及
或
其中,,,,,,
则
为微分系统(5.1.1)的反射函数.
2°若a2≡0及
其中
则F(t,x,y)=(fx,g1x+g2y)T为微分系统(5.1.1)的反射函数.除此之外,若微分系统(5.1.1)为2ω-周期系统,则该系统在[-ω,ω]有定义的解x=x(t;-ω,x0,y0),y=y(t;-ω,x0,y0)是2ω-周期解,当且仅当F(-ω,x0,y0)=(x0,y0)T.
例5.1.2 微分系统
具有非线性反射函数
这里,,a2(t),a3(t)为任意连续可微的奇函数.
定理5.1.4 若a5=a4≡0及a2≠0及,则1°若b5≡0,及
(函数c1,c2,f,φ的定义与定理5.1.3中相同),则
为微分系统(5.1.1)的反射函数.2°若b5≠0及及
(函数c1,c2,f,φ,φ∗的定义与定理5.1.3中相同),则
为微分系统(5.1.1)的反射函数.除此之外,若微分系统(5.1.1)为2ω-周期系统,则该系统在[-ω,ω]上有定义的解x=x(t;-ω,x0,y0),y=y(t;-ω,x0,y0)为2ω-周期解,当且仅当,F(-ω,x0,y0)=(x0,y0)T.
例5.1.3 微分系统
具有反射函数F(t,x,y)=(x,e2sinty+(e2sint-1)x2)T,这里α(t)+α(-t)=0,β(t)+β(-t)=0且连续可微.若α(t+2π)=α(t),β(t+2π)=β(t).则该微分系统在[-π,π]上有定义的解皆是2π-周期解.
显然,对于微分系统(5.1.1),当a2=a4=a4=0及f′+fa1+fa1=0,a3+a3f=0,那该系统反射函数的第一分量具有形式x=f(t)x.
免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。