理论教育 微分系统反射函数与周期解的应用

微分系统反射函数与周期解的应用

时间:2023-11-25 理论教育 版权反馈
【摘要】:在这一小节我们讨论微分系统(ai∶=ai(t),bi∶=bi(t),i=1,2,…,5连续可微函数t∈R).当该系统的反射函数的第一分量为fx时,其第二分量具有什么样的形式?

微分系统反射函数与周期解的应用

在这一小节我们讨论微分系统

ai∶=ait),bi∶=bit),i=1,2,…,5连续可微函数tR.当该系统的反射函数的第一分量为ftx时,其第二分量具有什么样的形式?同时给出了该微分系统解的第一分量为偶函数的充要条件.

设系统(5.1.1)具有反射函数:Ftxy)=(F1txy),F2txy))T.

引理5.1.1F1txy)=ftx,则

f′(0)+2a1(0)=0,ai(0)=0(i=2,3,4,5). (5.1.2)

F1txy)=ftx,则由反射函数的基本关系式得

这里978-7-111-47659-7-Chapter05-3.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-4.jpg.t=0,则有

f′(0)x(0)+2[a1(0)x(0)+a2(0)y(0)+a3(0)x2(0)+a4(0)x(0)y(0)+a5(0)y2(0)]x(0≡,y(0)0.

由此推得引理的结论成立.

在这一节中,我们总假设条件(5.1.2)成立.记号at)≠0表示在t=0的某去心邻域里且t充分小成立.

引理5.1.2F1txy)=ftxa5t)≡0, a22t)+a24t)≠0,则F2txy)=g0tx)+g1txy

其中g0tx),g1tx)为连续可微函数,(tx)∈R2.

F1txy)=ftx,则由式(5.1.3)得978-7-111-47659-7-Chapter05-5.jpg

978-7-111-47659-7-Chapter05-6.jpg,则由此推得F2txy)=g0tx)+g1txy.978-7-111-47659-7-Chapter05-7.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-8.jpg,但由引理的条件这是不可能的.从而引理得证.

引理5.1.3F1txy)=xa5t)≠0,如果978-7-111-47659-7-Chapter05-9.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-10.jpg存在,则

F1txy)=x,则由式(5.1.3)推得

由此可推得该引理的结论.

定理5.1.1F1txy)=ftxa5t)≠0,且978-7-111-47659-7-Chapter05-13.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-14.jpg存在,则F2txy)=g0t)+g1tx+g2ty.(其中g0t),g1t),g2t)为连续可微函数,tR.

F1txy)=ftx,则由(5.1.3)得

对式(5.1.3)沿着式(5.3.1)的解求全导数得

由式(5.1.4)和式(5.1.5)计算得

这里

1)若B2txy)≠0,则由式(5.1.6)得978-7-111-47659-7-Chapter05-19.jpg由此及式(5.1.3)可推得

由上式得

将此式代入式(5.1.3)得978-7-111-47659-7-Chapter05-22.jpg在这种情况下定理得证.

2)若B2txy)≡0,则B1txy)≡0.b5≠0,由B2txy)≡0,B1txy)≡0推得ft)=1和

其中α∶=a5+2a5b2-a2b5β∶=2a5b4-a4b5.

由定理的条件及式(5.1.12)和式(5.1.13)推得a2=mta5a4=nta5.由式(5.1.10)得a5=γt)eδt,这里

γt)+γ(-t)=0,

由式(5.1.7)和式(5.1.8)得978-7-111-47659-7-Chapter05-25.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-26.jpg,其中k1t)+k1(-t)=0,k2t)+k2(-t)=0.

978-7-111-47659-7-Chapter05-27.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-28.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-29.jpg;则978-7-111-47659-7-Chapter05-30.jpg

由引理5.1.3得u(0)=v(0)=w(0)=0.由式(5.1.7)~式(5.1.15)计算得

这是个齐线性方程组,由解的唯一性得ut)=vt)=wt)≡0,从而Δ≡0.则由式(5.1.3)推得

b2≡0时,可类似讨论.定理得证.

定理5.1.2a5t)≠0,则1°a2≠0且(www.daowen.com)

其中

c1=a1+a21+a2b1c2=a2+a2a1+a2b2.

为微分系统(5.1.1)的反射函数.

2°a2≡0且

其中

Ftxy)=(fxg1x+g2yT为微分系统(5.1.1)的反射函数.

除此之外,若微分系统(5.1.1)为2ω-周期系统,则该系统在[-ωω]有定义的解x=xt,-ωx0y0),y=yt,-ωx0y0)是2ω-周期解,当且仅当,F(-ωx0y0)=(x0y0T.

a2≠0,由条件(5.1.16)得

由条件(5.1.2)得

从而978-7-111-47659-7-Chapter05-40.jpg,由f(0)=1得978-7-111-47659-7-Chapter05-41.jpg由于F(0,xy)=(xyT

这里978-7-111-47659-7-Chapter05-43.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-44.jpg即在a2≠0时,定理得证.a2≡0时,同理可证.其余结论由第2章基本引理2.1.2可得.

例5.1.1 微分系统

aibii=1,2,3,4连续可微的奇函数tR),具有反射函数Ftxy)=(x,e2sintyT.ait+2π)=ait),bit+2π)=bit),i=1,2,3,4则该系统在[-π,π]上有定义的解都是2π-周期函数.

a5≡0和a4≠0时同理可得下面的结论:

定理5.1.3a5≡0及a4≠0,则1°a2≠0及

其中978-7-111-47659-7-Chapter05-48.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-49.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-50.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-51.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-52.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-53.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-54.jpg

为微分系统(5.1.1)的反射函数.

2°a2≡0及

其中

Ftxy)=(fxg1x+g2yT为微分系统(5.1.1)的反射函数.除此之外,若微分系统(5.1.1)为2ω-周期系统,则该系统在[-ωω]有定义的解x=xt;-ωx0y0),y=yt;-ωx0y0)是2ω-周期解,当且仅当F(-ωx0y0)=(x0y0T.

例5.1.2 微分系统

具有非线性反射函数

这里978-7-111-47659-7-Chapter05-60.jpg978-7-111-47659-7-Chapter05-61.jpga2t),a3t)为任意连续可微的奇函数.

定理5.1.4a5=a4≡0及a2≠0及978-7-111-47659-7-Chapter05-62.jpg,则1°b5≡0,978-7-111-47659-7-Chapter05-63.jpg

(函数c1c2fφ的定义与定理5.1.3中相同),则

为微分系统(5.1.1)的反射函数.2°b5≠0及978-7-111-47659-7-Chapter05-66.jpg

(函数c1c2fφφ的定义与定理5.1.3中相同),则

为微分系统(5.1.1)的反射函数.除此之外,若微分系统(5.1.1)为2ω-周期系统,则该系统在[-ωω]上有定义的解x=xt;-ωx0y0),y=yt;-ωx0y0)为2ω-周期解,当且仅当,F(-ωx0y0)=(x0y0T.

例5.1.3 微分系统

具有反射函数Ftxy)=(x,e2sinty+(e2sint-1)x2)T,这里αt)+α(-t)=0,βt)+β(-t)=0且连续可微.αt+2π)=αt),βt+2π)=βt.则该微分系统在[-π,π]上有定义的解皆是2π-周期解.

显然,对于微分系统(5.1.1),当a2=a4=a4=0及f′+fa1+fa1=0,a3+a3f=0,那该系统反射函数的第一分量具有形式x=ftx.

免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。

我要反馈