理论教育 二次多项式微分方程的周期解

二次多项式微分方程的周期解

时间:2023-11-25 理论教育 版权反馈
【摘要】:),其周期解的个数.根据引理4.3.1我们不妨考虑二阶微分方程其中ai,δ,a1为连续可微函数(i=0,1,2,3,…,n).对其任一解x,构造函数记y=δx+x′,则式和式变为其中a1=a1+δ.下面将建立Riccati方程与方程解之间的关系?

二次多项式微分方程的周期解

现在我们考虑二阶微分方程

x″=a00t)+a10tx+a01tx′+a20tx2+a11txx′+a02tx′2, (4.3.1)

这里aijt)在R上连续可微,(ij=0,1,2)

Riccati方程

u′=α0t)+α1tu+α2tu2, (4.3.2)

其中αit)在R上连续可微,(ij=0,1,2)且α2t)≠0.

xt)为方程(4.3.1)的任一解,构造函数

ut)=b00t)+b10txt)+b01tx′t), (4.3.3)

bijt)在R上连续可微,(ij=0,1).

从4.4.1知,我们可以通过反射函数的性质来研究Riccati方程(4.3.2)周期解的个数及稳定性态.下面我们将应用Riccati方程(4.3.2)周期解的性态来研究微分方程(4.3.1)的性态.

引理 4.3.1 假设a02ta11t)≠0,对于方程(4.3.1)存在连续可微函数α0t),α1t),α2t)(α2≠0)和b00t),b01t),b10t)满足:

a211t)=4a20ta02t),δ′=δ2+a01tδ-a10

b00t)+b01ta00t)=α0t)+α1tb00t)+α2tb200t.

ut)为Riccati方程(4.3.2)的解.

其中978-7-111-47659-7-Chapter04-66.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-67.jpg

由于xt)为方程(4.3.1)的任一解,则

比较上式两边xt),x′t)同次幂的系数得

b00+b01a00=α0+α1b00+α2b200

b10+b01a10=α1b10+2α2b00b10

b01+b10+a01b01=α1b01+2α2b00b01

b01a20=α2b210a11=2α2b10

b01a02=α2b201.

由上式不难计算可得引理的结论成立.

在引理的条件下,方程(4.3.1)可表示成

x″=a00+(δ2-δ′x+a01δx+x′)+a02δx+x′2.

式(4.3.3)变为

ut)=b00+b01δxt)+x′t)).

若取b00=0,b01=1,则方程(4.3.1)变为

u′=a00+(a10+δu+a02u2.

定理4.3.1 假设引理4.3.1的条件满足,且方程(4.3.1)和方程(4.3.2)的系数函数均为连续的2ω-周期函数,则

1)若Riccati方程(4.3.2)没有2ω-周期解,则方程(4.3.1)没有2ω-周期解;

2)若978-7-111-47659-7-Chapter04-69.jpg,并且方程(4.3.2)有且仅有一个2ω-周期解,则方程(4.3.1)最多只有一个2ω-周期解;

3)若978-7-111-47659-7-Chapter04-70.jpg,并且方程(4.3.2)有且仅有两个2ω-周期解,则方程(4.3.1)最多只有两个2ω-周期解.

1)反证 若方程(4.3.1)有一个2ω-周期解xt),则ut)=b00t)+b01t)(δtxt)+x′t))为方程(4.3.2)的一个2ω-周期解,与假设矛盾,故结论1成立.

2)反证 若此时方程(4.3.1)存在两个2ω-周期解x1t),x2t),且x1t)≠x2t.

u1t)=b00+b01δtx1t)+x1t)),

u2t)=b00+b01δtx2t)+x2t))

都是方程(4.3.2)的周期解,由假设得u1t)≡u2t),即

δt)(x1t)-x2t))+(x1t)-x2t))=0,

解此方程得

因此有

由于978-7-111-47659-7-Chapter04-73.jpg,则x1t)≡x2t.与假设矛盾.故结论2成立.与2)同理可证结论3)成立.

引理4.3.2 对于可微函数xt)和2ω-周期函数δt),若

其中σt)是一个2ω-周期函数.

证 令

由于

又由式(4.3.4)得

x′t+2ω)-x′t)=-δt)(xt+2ω)-xt)),则σt+2ω)=σt.σt)为2ω-周期函数.

解此一阶微分方程即得关系式(4.3.5).

引理4.3.3 对可微函数xt)和2ω-周期函数δt),若式(4.3.4)成立,则当978-7-111-47659-7-Chapter04-79.jpg时,有

这里σt)和978-7-111-47659-7-Chapter04-81.jpg都是2ω-周期函数.

证记978-7-111-47659-7-Chapter04-82.jpg,则x(0)=y(0),x(2ω=y(2ω.978-7-111-47659-7-Chapter04-83.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-84.jpg,则由式(4.3.4)得

yt+2ω)-yt)=x(2ω)-x(0).

微分此恒等式得

y′t+2ω)-y′t)=0.

y′t)为2ω-周期函数,则978-7-111-47659-7-Chapter04-85.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-86.jpg,这里σ1t)为2ω-周期函数[4].因此只要取σt1t+y(0),即得式(4.3.6)成立.

定理4.3.2 假设引理4.3.1的条件满足,方程(4.3.1)和方程(4.3.2)所有系数都是2ω-周期函数,并且方程(4.3.2)的所有解都是2ω-周期解,则对于方程(4.3.1)的任一解xt

1)若978-7-111-47659-7-Chapter04-87.jpg,则

这里σt)和∫0tδs)ds都是2ω-周期函数,978-7-111-47659-7-Chapter04-89.jpg

2)若x(2ω)=x(0),则xt)为2ω-周期函数;

3)若x(2ω)≠x(0),则当978-7-111-47659-7-Chapter04-90.jpg时,978-7-111-47659-7-Chapter04-91.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-92.jpg时,978-7-111-47659-7-Chapter04-93.jpg

xt)为方程(4.3.1)的任一解,则ut)=b00t)+b01t)(δtxt)+x′t))为式(4.3.2)的解,且ut+2ω)=ut),即

δt)(xt+2ω)-xt))+(xt+2ω)-xt))=0.

解此方程得

由此可得,若978-7-111-47659-7-Chapter04-95.jpg,由引理4.3.3得结论1)成立.x(2ω=x(0),则xt+2ω=xt),即结论2)成立.x(2ω)≠x(0),由于978-7-111-47659-7-Chapter04-96.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-97.jpgσ2(t)一个2ω-周期函数[4],则有

由于σ2t)为2ω-周期函数,从而有界.则由上面关系式即可得结论3)成立.

我们可以利用上述方法来讨论微分方程

aijt+2ω)=aijt)(ij=0,1,2,…),其周期解的个数.

根据引理4.3.1我们不妨考虑二阶微分方程

其中ait),δt),a1t)为连续可微函数(i=0,1,2,3,…,n.

对其任一解xt),构造函数

y=δx+x′,则式(4.3.7)和式(4.3.8)变为

其中a1t)=a1t)+δt.

下面将建立Riccati方程(4.3.2)与方程(4.3.7)解之间的关系?

定理4.3.3an≠0,对微分方程(4.3.9)存在连续可微函数α0α1α2(α2≠0)和bii=0,1,2,…,n-1)若(www.daowen.com)

则函数(4.3.10)为Riccati方程(4.3.2)的解.其中

knak=0,若kn-1,bk=0.

由定理的条件得

比较等式两边y的同次幂的系数得

其中ak=0,当kn.bk=0,当kn-1时.

计算式(4.3.14)即可推得式(4.3.12).由式(4.3.13)和计算bk′bn-1-b′n-1bkk=1,2,…,n-2)可得式(4.3.11)成立.

综上即可得定理的结论成立.

例4.3.1 考虑微分方程

对其任一解xt),函数

满足Riccati方程

下面我们总假设定理4.3.3的条件满足,并且微分方程(4.3.2),方程(4.3.7)和方程(4.3.8)的所有系数为t的2ω-周期函数.

定理4.3.4 若Riccati方程(4.3.2)没有2ω-周期解,则方程(4.3.6)也没有2ω-周期解.

反证 若方程(4.3.7)有一个2ω-周期解,则函数

为方程(4.3.2)的2ω-周期解,这与定理的假设矛盾.从而定理的结论成立.

推论4.3.1α1t)+α1(-t)=0,α0t)=α0(-t),α2t)=α2(-t),α2t)≥0,α0t)≥0或α0t)≤0,α2t)≤0,tR,且存在τR使得α2τα0τ)>0,则方程(4.3.7)没有2ω-周期解.

由定理4.1.3知,此时微分方程(4.3.2)不存在2ω-周期解,则由定理4.3.4得推论的结论成立.

推论4.3.2α21<4α0α1,则方程(4.3.7)没有2ω-周期解.

该结论可由推论4.1.1及定理4.3.4得.

定理4.3.5978-7-111-47659-7-Chapter04-111.jpg及Riccati方程(4.3.2)仅有一个2ω-周期解,则方程(4.3.7)最多具有n-1个2ω-周期解.

反证 假设方程(4.3.7)具有n个2ω-周期解xit)(i=1,2,…,n)且xit)≠xjt)(ij=1,2,…,nij.yit)=δtxit)+xit)(i=1,2,…,n)都是方程(4.3.8)的2ω-周期解.下面证明存在ij(1≤ijn)使得

yit)≡yjt. (4.3.15)

假设对任意的ij(1≤ijn),都有

yit)-yjt)≠0. (4.3.16)由式(4.3.10)得978-7-111-47659-7-Chapter04-112.jpgi=1,2,…,n)都是方程(4.3.2)的2ω-周期解.由定理的条件得

uit)≡ujt) (ij=1,2,…,n), (4.3.17)

uit)-ujt)≡0 (ij=1,2,…,n),

由于y1-yj≠0,则

将上面其他式减去第一式得

又由于y2-yj≠0,则

重复上述步骤得

两式相减得

bn-1yn-1-yn)≡0.

又由于978-7-111-47659-7-Chapter04-120.jpg,则yn-1-yn≡0,这与式(4.3.16)矛盾.因此式(4.3.15)成立,即

δt)(xit)-xjt))+(xit)-xjt))≡0 (ij),

解此方程得

又因为978-7-111-47659-7-Chapter04-122.jpg,则xi(0)-xj(0)=0,从而xit-xjt)≡0,这与假设矛盾,从而定理得证.

定理4.3.6假设978-7-111-47659-7-Chapter04-123.jpg及Riccati方程(4.3.2)恰有两个2ω-周期解,则方程(4.3.7)至多有n个2ω-周期解.

证 反证 若方程(4.3.7)有n+1个2ω-周期解xit)(i=1,2,…,n+1)且xit)≠xjt)(ij),则yit)=δtxit)+xit)(i=1,2,…,n+1)是方程(4.3.9)的2ω-周期解,978-7-111-47659-7-Chapter04-124.jpg都是Riccati方程(4.3.2)的2ω-周期解.根据定理的假设与定理4.3.5同理可证定理4.3.6的结论成立.

推论4.3.3978-7-111-47659-7-Chapter04-125.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-126.jpg,并且存在τR使得α2τα0τ0,方程(4.3.2)至少有一个解在[ω]上有定义,则方程(4.3.7)至多存在n个2ω-周期解.

在上述条件下,再由定理4.1.2知,此时Riccati方程(4.3.2)恰有两个2ω-周期解,再应用定理4.3.6的结论即可推得推论4.3.3

下面我们记

λij=x(2)-x(2), μij=xt+2)-xt+2), 0≤ijn-1.

定理4.3.7 假设Riccati方程(4.3.2)的所有解皆为2ω-周期解.则对方程(4.3.7)的任一解xt),1)若978-7-111-47659-7-Chapter04-127.jpg,则存在ij,0≤ijn-1,使得

其中mt)是一个2(j-iω-周期函数;

2)若对上面ijλij=0,则xt+2)是t的2(j-iω-周期函数;

3)若对上面ijλij≠0,则当978-7-111-47659-7-Chapter04-129.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-130.jpg;当978-7-111-47659-7-Chapter04-131.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-132.jpg;4)若978-7-111-47659-7-Chapter04-133.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-134.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-135.jpg,(0≤ijn-2),λ0n=0,则xt)为2(n-1)ω-周期函数;5)若∫978-7-111-47659-7-Chapter04-136.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-137.jpg978-7-111-47659-7-Chapter04-138.jpg,(1≤ijn-1),λ1n=0,则xt)为2nω-周期函数.

xt)为式(4.3.7)的任一解.yittxt+2+x′t+2),(i=1,2,…,n-1),则978-7-111-47659-7-Chapter04-139.jpg方程(4.3.2)的2ω-周期解,则

ut)=ut+2ω)=…=ut+2(n-1)ω),

应用此式,与定理4.3.5同理可得,存在ij,0≤ijn-1使得

yit)=yjt),

δt)(xt+2)-xt+2))+(xt+2)-xt+2))=0,由此得

因此,与定理4.3.2和引理4.3.3类似可证得定理的前三个结论成立.

下面验证结论4成立.

先证在条件4)成立时,有yit)≠yjt)(0≤ijn-2).

反证 若存在ij,(0≤ijn-2)使得

yit)=yjt),

由此得

x(2(i+1)ω)-x(2(j+1)ω)=x(2)-x(2),

λi+1j+1=λij.

这与定理的条件4)矛盾.因此由式(4.3.18)可推得

bn-2+bn-1y0+y1+…+yn-3+yn-2)=0.

解此方程得

应用条件4)得

因此

xt)=xt+2(n-1)ω.

从而定理的结论4)成立.同理可证结论5)成立.综上,定理得证.

推论4.3.4αit)+αi(-t)=0(i=0,1,2),则定理4.3.7的结论成立.

由本章4.1知,此时Riccati方程的反射函数为Ftu)=u,从而该方程的所有解均为2ω-周期函数,则由定理4.3.7得推论成立.

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