理论教育 微分系统的反射函数及应用

微分系统的反射函数及应用

时间:2023-11-25 理论教育 版权反馈
【摘要】:现在我们考虑线性微分系统这里为连续矩阵.设为系统(3.3.1)的反射矩阵.下面我们着重讨论线性微分系统(3.3.1)具有各种特殊类型的反射矩阵的充分条件.在本节中我们简记:情形Ⅰ引理3.3.1 若矩阵函数(3.3.2)为反射矩阵,则f11=eφ11(t),f22=eφ22(t),φ11(t),φ22(t)为可微的奇函数.证 由反射矩阵的性质得,若矩阵(3.3.2)为某微分系统的反射矩阵,则,F(-

微分系统的反射函数及应用

现在我们考虑线性微分系统

这里978-7-111-47659-7-Chapter03-60.jpg为连续矩阵.978-7-111-47659-7-Chapter03-61.jpg为系统(3.3.1)的反射矩阵.

下面我们着重讨论线性微分系统(3.3.1)具有各种特殊类型的反射矩阵的充分条件.在本节中我们简记:

情形Ⅰ978-7-111-47659-7-Chapter03-63.jpg

引理3.3.1 若矩阵函数(3.3.2)为反射矩阵,则f11=eφ11(tf22=eφ22(tφ11t),φ22t)为可微的奇函数.

由反射矩阵的性质得,若矩阵(3.3.2)为某微分系统的反射矩阵,则,F(-tFt)=F(0)=E,即f11(-tf11t)=1,f22(-tf22t)=1,f11(0)=f22(0)=1.f11=eφ11(tf22=eφ22(tφ11t)+φ11(-t)=0=φ22t)+φ22(-t.

定理3.3.1 对于微分系统(3.3.1)若满足

则其反射矩阵为

At+2ω)=At),则当978-7-111-47659-7-Chapter03-66.jpg时,系统(3.3.1)具有无穷多个2ω-周期解;当978-7-111-47659-7-Chapter03-67.jpg时,系统(3.3.1)存在唯一2ω-周期解,且当978-7-111-47659-7-Chapter03-68.jpg时,该周期解渐近稳定;当978-7-111-47659-7-Chapter03-69.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-70.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-71.jpg时不稳定.

在定理的条件下,易验证矩阵(3.3.3)为系统(3.3.1)的反射矩阵.当At+2ω)=At)时,系统(3.3.1)的Poincaré映射为

从而由F(-ωx=x得(F(-ω)-Ex=0,即

由于该代数方程组的系数行列式为:978-7-111-47659-7-Chapter03-74.jpg,则应用第2章的引理2.1.1,与第3章定理3.1.3同理可得定理的结论成立.

情形Ⅱ978-7-111-47659-7-Chapter03-75.jpg

引理3.3.2 矩阵函数(3.3.4)为反射矩阵,则f11=eφ11(t),f22=eφ22(t),978-7-111-47659-7-Chapter03-76.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-77.jpg,这里φ11t),φ22t),φ21t)为可微的奇函数.

该引理可与引理3.3.1同理可证.

引理3.3.3[107]a12t)为可微函数,且其零点为孤立点,对∀t

则线性微分系统(3.3.1)具有形如矩阵(3.3.4)的反射矩阵,当且仅当,

且此时

其中

由引理3.3.2得

为系统(3.3.1)的反射矩阵,当且仅当

F(0)=E得,

φ11(0)=φ22(0)=1,φ21(0)=0

在式(3.3.7)中将t→-t

式(3.3.8)+式(3.3.11)得

从而

又由式(3.3.9)得

因此

由此及式(3.3.12)得

再将上式代入式(3.3.10)得

φ11φ22φ21的表达式代入式(3.3.7)即得式(3.3.6),从而引理得证.

定理3.3.2 若引理3.3.3的条件满足,且At+2ω)=At),则微分系统(3.3.1)的Poincaré映射为Tx)=b(-ωx.

由于At+2ω)=At),则由引理3.3.3得(3.3.1)的Poincaré映射为

由于a12t+2ω)=a12t),则at)=at+2ω),从而aω)=a(-ω.ata(-t)=1,故aωa(-ω)=1.因此aω)=a(-ω)=1,故978-7-111-47659-7-Chapter03-94.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-95.jpg

又由于978-7-111-47659-7-Chapter03-96.jpg为偶的2ω-周期函数,故978-7-111-47659-7-Chapter03-97.jpg为奇的2ω-周期函数,从而有978-7-111-47659-7-Chapter03-98.jpg.因此φ21(-ω)=0,则

F(-ω)=b(-ωE.定理得证.

定理3.3.3 在定理3.3.2的条件下,若978-7-111-47659-7-Chapter03-99.jpg,则系统(3.3.1)的一切解皆以2ω为周期.978-7-111-47659-7-Chapter03-100.jpg,则系统(3.3.1)存在唯一2ω-周期解,且当978-7-111-47659-7-Chapter03-101.jpg时渐近稳定,当978-7-111-47659-7-Chapter03-102.jpg时不稳定.

该定理的结论由定理3.3.2,与定理3.2.1同理可证.

例3.3.1 微分系统

这里ab为任意常数.

b=3时,该微分系统的解皆为2π-周期;

b≠3时,该微分系统的唯一周期解为x1=x2=0,且当b<3时,该零解渐近稳定,b>3时不稳定.事实上,由于978-7-111-47659-7-Chapter03-104.jpg.容易验证,该微分系统满足引理

3.3.3的条件,且At+2π)=At),其反射矩阵Ftt=-π=e2(b-3)πE.由此可得结论成立.

例3.3.2 微分系统

其中abc为任意常数,rt)为任意连续可微的2π-周期函数.该系统当b=0时,所有解皆为2π-周期解;当b≠0时,存在唯一2π-周期解,并当b<0时该周期解渐近稳定,当b>0时不稳定.

由于该微分系统满足引理3.3.3的条件,且F(-π)=e2bπE.由此即可得上述结论.

例3.3.3 微分系统

其中αβ为常数且α>1.该微分系统的所有解均为2π-周期.

情形Ⅲ

定理3.3.4[99] 微分系统(3.3.1)以矩阵(3.3.13)为反射矩阵,当且仅当,

其中

由反射矩阵的定义得,式(3.3.13)为系统(3.3.1)的反射矩阵,当且仅当,

F′t)+FtAt)+A(-tFt)=0,F(0)=E.

由Liouville公式得

所以

从而有

将此代入式(3.3.14)~式(3.3.17)得

φt)+φ(-t)=0.将式(3.3.14)中的t→-t得式(3.3.14)与式(3.3.17)相同.又将式(3.3.15)中的t→-t

将此式与式(3.3.16)相加得(www.daowen.com)

将此式代入式(3.3.14)与式(3.3.15)

由cosφ(0)=1,由此及上式得定理的结论成立.

推论3.3.1 若定理3.3.4的条件成立,且At+2ω)=At.则当978-7-111-47659-7-Chapter03-118.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-119.jpg时,微分系统(3.3.1)的所有解皆为2ω-周期解.978-7-111-47659-7-Chapter03-120.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-121.jpg,但978-7-111-47659-7-Chapter03-122.jpg,微分系统(3.3.1)存在唯一2ω周期解,且该周期解,当978-7-111-47659-7-Chapter03-123.jpg时渐近稳定,978-7-111-47659-7-Chapter03-124.jpg时稳定,978-7-111-47659-7-Chapter03-125.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-126.jpg时不稳定.

由A(t+2ω)=At),及定理3.3.4知,此时微分系统(3.3.1)的Poincaré映射为

又方程F(-ωx=x等价于

显然,其系数行列式

W=(α(-ω)-1)2+2α(-ω)(1-cosφ(-ω)).W=0当且仅当α(-ω)=1和cosφ(-ω)=1,此时系统(3.3.1)的一切解皆为2ω-周期解.W≠0时,系统(3.2.1)存在唯一2ω-周期解.另一方面,由于F(-ωx2=α2(-ωx2,故当α(-ω)<1,即978-7-111-47659-7-Chapter03-129.jpg时,周期解渐近稳定,978-7-111-47659-7-Chapter03-130.jpg时稳定,978-7-111-47659-7-Chapter03-131.jpg时不稳定[20].3.3.4 微分系统

具有反射矩阵978-7-111-47659-7-Chapter03-133.jpg,且该系统的一切解皆为2π-周期解.对于n维线性微分系统

At)=(aijt))n×n为连续矩阵函数,tR.

Ftx)=Ftx为其反射函数.下面将回答何时系统(3.3.19)具有满足关系式

Ftx)2=α2tx2. (3.3.20)

的反射函数,其中αt)为连续可微函数且满足α(0)=αtα(-t)=1.[147]

定理3.3.5Ftx)=Ftx为系统(3.3.19)的反射函数,则它满足关系式(3.3.20)的充要条件为FtFTt)=FTtFt)=α2tE(这里En×n单位矩阵978-7-111-47659-7-Chapter03-135.jpg.

Ft)=(fijt))n×n,则

当且仅当

FtFTt)=FtFTtFtF-1t)=Ftα2EFt)=α2E.故定理成立.

定理3.3.6FtFTt)=α2tE,当且仅当,Ft)=αtRt),其中978-7-111-47659-7-Chapter03-139.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-140.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-141.jpg

证 由反射矩阵定义知F(t)=X(-t)X-1t),这里X(t)为式(3.3.19)的标准基解矩阵,则

从而

又由于FtF(-t)=EFtFTt)=α2tE,则F-1t)=F(-t)=α-2FTt),取978-7-111-47659-7-Chapter03-145.jpg,即可推得定理的结论.

定理3.3.7FtFTt)=α2tE,并且At+2ω)=At),则微分系统(3.3.19)的零解,当978-7-111-47659-7-Chapter03-146.jpg时渐近稳定,当978-7-111-47659-7-Chapter03-147.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-148.jpg时稳定,当∫978-7-111-47659-7-Chapter03-149.jpg时不稳定.

证 由于此时系统(3.3.19)的Poincaré映射T(x)=F(-ω)x满足

T(x)2=F(-ω)x2=α2(-ω)x2,由此推得

Tn(x)2=α2n(-ω)x2n=1,2,…) (3.3.21)由此及第1章定义1.2.4可推得定理的结论.

推论3.3.2978-7-111-47659-7-Chapter03-150.jpg,则F(t)FTt)=α2t)E.易验证此时978-7-111-47659-7-Chapter03-151.jpg为系统(3.3.19)的反射矩阵,显然结论成立.

定理3.3.8 F(t)FTt)=α2t)E的充要条件F(t)B(t)+B(-t)F(t)=0.(3.3.22)这里978-7-111-47659-7-Chapter03-152.jpg

令U:=F(t)FTt)-α2t)E,则U(0)=0,

-U=A(-t)U+UAT(-t)+(F(t)B(t)+B(-t)F(t))FTt),由此式及解的唯一性即可证得定理的结论.

推论3.3.3978-7-111-47659-7-Chapter03-153.jpg,则F(t)FTt)=α2t)E,这里βt)为任一连续可微的纯量奇函数.

推论3.3.4978-7-111-47659-7-Chapter03-154.jpg,则F(tFTt)=α2tE.

由推论3.3.4得:

例3.3.5 微分系统

的反射矩阵Ft),满足FtFTt)=α2tE.这里βt),γt),δt)为任意连续可微的2π-周期函数.由于α(-π)=expπ>1,故该方程的零解不稳定.

定理3.3.9Ft)为线性系统(3.3.19)的反射矩阵,并且

FtFTt)=α2tE,当且仅当,

由定理3.1.2知,在条件(3.3.24)成立时,微分系统(3.3.19)的反射矩阵为

由此FtFTt)=α2tE,当且仅当,

将此式关于t求导,并将978-7-111-47659-7-Chapter03-160.jpg代入计算即可得定理的结论成立.

由式(3.3.27)知,当At)+A(-t)为对角矩阵或某些特殊矩阵时,我们就可以具体写出Ft.At)+A(-t)为一般矩阵时,又如何计算Ft)的具体元素呢?

由式(3.3.26)和式(3.3.27)得

其中978-7-111-47659-7-Chapter03-162.jpg

ijij=1,2,…,n.

下面为了计算Ft),只需计算expBt.n=2时,前面已讨论过了,在此我们考虑n≥3的情形.[147]

定理3.3.10n=3时,若条件(3.3.24),条件(3.3.25)及条件(3.3.26)成立,则微分系统(3.3.19)的反射矩阵为

又若At+2ω)=At),则当δ=0时,微分系统(3.3.19)具有无限多个2ω-周期解;当δ≠0时,它具有唯一的2ω-周期解,且该周期解当δ<0时渐近稳定,当δ>0时不稳定.这里

由式(3.3.28)计算得

B2kt)=(-λ2k-1B2t),B2k+1t)=(-λ2kB(t),k=1,2,…从而978-7-111-47659-7-Chapter03-165.jpgFt)可由式(3.3.29)表示.

又当系统(3.3.19)为2ω-周期系统时,此时其Poincaré映射Tx)=F(-ωx,则方程F(-ωx=x的系数行列式

W=det(F(-ω)-E)=(α(-ω)-1)[(α(-ω)-1)2+2α(-ω)(1-cosλ(-ω))].由此即可推得定理的结论成立.

同理可得

定理3.3.11n=4时,若条件(3.3.24),条件(3.3.25)及条件(3.3.26)满足,且b23b14-b24b13+b34b12=0,则微分系统(3.3.19)的反射矩阵可由式(3.3.29)表示.其中978-7-111-47659-7-Chapter03-166.jpg978-7-111-47659-7-Chapter03-167.jpg

又当At+2ω)=At)时,与定理3.3.10相应的结论也成立.

注意,此时方程F(-ωx=x的系数行列式为

W=det(F(-ω)-E)=[α(-ω)-1]2[(α(-ω)-1)2+2α(-ω)(1-cosλ(-ω))].

由定理3.3.10和定理3.3.11可以猜想,对任意的n≥3,在一定条件下,微分系统(3.3.19)以式(3.3.29)为反射矩阵,并且有

W=det(F(-ω)-E

=[α(-ω)-1]n-2[(α(-ω)-1)2+2α(-ω)(1-cosλ(-ω))].

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