这里为连续矩阵.设为系统(3.3.1)的反射矩阵.
下面我们着重讨论线性微分系统(3.3.1)具有各种特殊类型的反射矩阵的充分条件.在本节中我们简记:
情形Ⅰ
引理3.3.1 若矩阵函数(3.3.2)为反射矩阵,则f11=eφ11(t),f22=eφ22(t),φ11(t),φ22(t)为可微的奇函数.
证 由反射矩阵的性质得,若矩阵(3.3.2)为某微分系统的反射矩阵,则,F(-t)F(t)=F(0)=E,即f11(-t)f11(t)=1,f22(-t)f22(t)=1,f11(0)=f22(0)=1.令f11=eφ11(t),f22=eφ22(t)则φ11(t)+φ11(-t)=0=φ22(t)+φ22(-t).
定理3.3.1 对于微分系统(3.3.1)若满足
则其反射矩阵为
若A(t+2ω)=A(t),则当时,系统(3.3.1)具有无穷多个2ω-周期解;当时,系统(3.3.1)存在唯一2ω-周期解,且当时,该周期解渐近稳定;当或时不稳定.
证 在定理的条件下,易验证矩阵(3.3.3)为系统(3.3.1)的反射矩阵.当A(t+2ω)=A(t)时,系统(3.3.1)的Poincaré映射为
从而由F(-ω)x=x得(F(-ω)-E)x=0,即
由于该代数方程组的系数行列式为:,则应用第2章的引理2.1.1,与第3章定理3.1.3同理可得定理的结论成立.
情形Ⅱ
引理3.3.2 矩阵函数(3.3.4)为反射矩阵,则f11=eφ11(t),f22=eφ22(t),,这里φ11(t),φ22(t),φ21(t)为可微的奇函数.
该引理可与引理3.3.1同理可证.
引理3.3.3[107] 若a12(t)为可微函数,且其零点为孤立点,对∀t有
则线性微分系统(3.3.1)具有形如矩阵(3.3.4)的反射矩阵,当且仅当,
且此时
其中
证 由引理3.3.2得
为系统(3.3.1)的反射矩阵,当且仅当
即
由F(0)=E得,
φ11(0)=φ22(0)=1,φ21(0)=0
又
在式(3.3.7)中将t→-t得
式(3.3.8)+式(3.3.11)得
从而
又由式(3.3.9)得
因此
由此及式(3.3.12)得
再将上式代入式(3.3.10)得
将φ11,φ22,φ21的表达式代入式(3.3.7)即得式(3.3.6),从而引理得证.
定理3.3.2 若引理3.3.3的条件满足,且A(t+2ω)=A(t),则微分系统(3.3.1)的Poincaré映射为T(x)=b(-ω)x.
证 由于A(t+2ω)=A(t),则由引理3.3.3得(3.3.1)的Poincaré映射为
由于a12(t+2ω)=a12(t),则a(t)=a(t+2ω),从而a(ω)=a(-ω).又a(t)a(-t)=1,故a(ω)a(-ω)=1.因此a(ω)=a(-ω)=1,故
又由于为偶的2ω-周期函数,故为奇的2ω-周期函数,从而有.因此φ21(-ω)=0,则
F(-ω)=b(-ω)E.定理得证.
定理3.3.3 在定理3.3.2的条件下,若,则系统(3.3.1)的一切解皆以2ω为周期.若,则系统(3.3.1)存在唯一2ω-周期解,且当时渐近稳定,当时不稳定.
该定理的结论由定理3.3.2,与定理3.2.1同理可证.
例3.3.1 微分系统
这里a,b为任意常数.
当b=3时,该微分系统的解皆为2π-周期;
当b≠3时,该微分系统的唯一周期解为x1=x2=0,且当b<3时,该零解渐近稳定,b>3时不稳定.事实上,由于.容易验证,该微分系统满足引理
3.3.3的条件,且A(t+2π)=A(t),其反射矩阵F(t)t=-π=e2(b-3)πE.由此可得结论成立.
例3.3.2 微分系统
其中a,b,c为任意常数,r(t)为任意连续可微的2π-周期函数.该系统当b=0时,所有解皆为2π-周期解;当b≠0时,存在唯一2π-周期解,并当b<0时该周期解渐近稳定,当b>0时不稳定.
由于该微分系统满足引理3.3.3的条件,且F(-π)=e2bπE.由此即可得上述结论.
例3.3.3 微分系统
其中α,β为常数且α>1.该微分系统的所有解均为2π-周期.
情形Ⅲ
定理3.3.4[99] 微分系统(3.3.1)以矩阵(3.3.13)为反射矩阵,当且仅当,
其中
证 由反射矩阵的定义得,式(3.3.13)为系统(3.3.1)的反射矩阵,当且仅当,
F′(t)+F(t)A(t)+A(-t)F(t)=0,F(0)=E.
即
由Liouville公式得
所以
从而有
将此代入式(3.3.14)~式(3.3.17)得
又φ(t)+φ(-t)=0.将式(3.3.14)′中的t→-t得式(3.3.14)′与式(3.3.17)′相同.又将式(3.3.15)′中的t→-t得
将此式与式(3.3.16)′相加得(www.daowen.com)
将此式代入式(3.3.14)′与式(3.3.15)′得
由cosφ(0)=1,由此及上式得定理的结论成立.
推论3.3.1 若定理3.3.4的条件成立,且A(t+2ω)=A(t).则当和时,微分系统(3.3.1)的所有解皆为2ω-周期解.当或,但,微分系统(3.3.1)存在唯一2ω周期解,且该周期解,当时渐近稳定,时稳定,时不稳定.
证 由A(t+2ω)=A(t),及定理3.3.4知,此时微分系统(3.3.1)的Poincaré映射为
又方程F(-ω)x=x等价于
显然,其系数行列式
W=(α(-ω)-1)2+2α(-ω)(1-cosφ(-ω)).则W=0当且仅当α(-ω)=1和cosφ(-ω)=1,此时系统(3.3.1)的一切解皆为2ω-周期解.当W≠0时,系统(3.2.1)存在唯一2ω-周期解.另一方面,由于F(-ω)x2=α2(-ω)x2,故当α(-ω)<1,即时,周期解渐近稳定,时稳定,时不稳定[20].例3.3.4 微分系统
具有反射矩阵,且该系统的一切解皆为2π-周期解.对于n维线性微分系统
A(t)=(aij(t))n×n为连续矩阵函数,t∈R.
设F(t,x)=F(t)x为其反射函数.下面将回答何时系统(3.3.19)具有满足关系式
F(t,x)2=α2(t)x2. (3.3.20)
的反射函数,其中α(t)为连续可微函数且满足α(0)=α(t)α(-t)=1.[147]
定理3.3.5 若F(t,x)=F(t)x为系统(3.3.19)的反射函数,则它满足关系式(3.3.20)的充要条件为F(t)FT(t)=FT(t)F(t)=α2(t)E(这里E为n×n阶单位矩阵,).
证 设F(t)=(fij(t))n×n,则
当且仅当
即
又
F(t)FT(t)=F(t)FT(t)F(t)F-1(t)=F(t)α2EF(t)=α2E.故定理成立.
定理3.3.6F(t)FT(t)=α2(t)E,当且仅当,F(t)=α(t)R(t),其中
证 由反射矩阵定义知F(t)=X(-t)X-1(t),这里X(t)为式(3.3.19)的标准基解矩阵,则
从而
即
又由于F(t)F(-t)=E,F(t)FT(t)=α2(t)E,则F-1(t)=F(-t)=α-2FT(t),取,即可推得定理的结论.
定理3.3.7 若F(t)FT(t)=α2(t)E,并且A(t+2ω)=A(t),则微分系统(3.3.19)的零解,当时渐近稳定,当时稳定,当∫时不稳定.
证 由于此时系统(3.3.19)的Poincaré映射T(x)=F(-ω)x满足
T(x)2=F(-ω)x2=α2(-ω)x2,由此推得
Tn(x)2=α2n(-ω)x2 (n=1,2,…) (3.3.21)由此及第1章定义1.2.4可推得定理的结论.
推论3.3.2 若,则F(t)FT(t)=α2(t)E.易验证此时为系统(3.3.19)的反射矩阵,显然结论成立.
定理3.3.8 F(t)FT(t)=α2(t)E的充要条件F(t)B(t)+B(-t)F(t)=0.(3.3.22)这里
证 令U:=F(t)FT(t)-α2(t)E,则U(0)=0,
-U′=A(-t)U+UAT(-t)+(F(t)B(t)+B(-t)F(t))FT(t),由此式及解的唯一性即可证得定理的结论.
推论3.3.3 若,则F(t)FT(t)=α2(t)E,这里β(t)为任一连续可微的纯量奇函数.
推论3.3.4 若,则F(t)FT(t)=α2(t)E.
由推论3.3.4得:
例3.3.5 微分系统
的反射矩阵F(t),满足F(t)FT(t)=α2(t)E.这里β(t),γ(t),δ(t)为任意连续可微的2π-周期函数.由于α(-π)=expπ>1,故该方程的零解不稳定.
定理3.3.9 若F(t)为线性系统(3.3.19)的反射矩阵,并且
则F(t)FT(t)=α2(t)E,当且仅当,
证 由定理3.1.2知,在条件(3.3.24)成立时,微分系统(3.3.19)的反射矩阵为
由此F(t)FT(t)=α2(t)E,当且仅当,
将此式关于t求导,并将代入计算即可得定理的结论成立.
由式(3.3.27)知,当A(t)+A(-t)为对角矩阵或某些特殊矩阵时,我们就可以具体写出F(t).当A(t)+A(-t)为一般矩阵时,又如何计算F(t)的具体元素呢?
由式(3.3.26)和式(3.3.27)得
其中
(i≠j,i,j=1,2,…,n).
下面为了计算F(t),只需计算expB(t).当n=2时,前面已讨论过了,在此我们考虑n≥3的情形.[147]
定理3.3.10 当n=3时,若条件(3.3.24),条件(3.3.25)及条件(3.3.26)成立,则微分系统(3.3.19)的反射矩阵为
又若A(t+2ω)=A(t),则当δ=0时,微分系统(3.3.19)具有无限多个2ω-周期解;当δ≠0时,它具有唯一的2ω-周期解,且该周期解当δ<0时渐近稳定,当δ>0时不稳定.这里
证 由式(3.3.28)计算得
B2k(t)=(-λ2)k-1B2(t),B2k+1(t)=(-λ2)kB(t),k=1,2,…从而即F(t)可由式(3.3.29)表示.
又当系统(3.3.19)为2ω-周期系统时,此时其Poincaré映射T(x)=F(-ω)x,则方程F(-ω)x=x的系数行列式
W=det(F(-ω)-E)=(α(-ω)-1)[(α(-ω)-1)2+2α(-ω)(1-cosλ(-ω))].由此即可推得定理的结论成立.
同理可得
定理3.3.11 当n=4时,若条件(3.3.24),条件(3.3.25)及条件(3.3.26)满足,且b23b14-b24b13+b34b12=0,则微分系统(3.3.19)的反射矩阵可由式(3.3.29)表示.其中
又当A(t+2ω)=A(t)时,与定理3.3.10相应的结论也成立.
注意,此时方程F(-ω)x=x的系数行列式为
W=det(F(-ω)-E)=[α(-ω)-1]2[(α(-ω)-1)2+2α(-ω)(1-cosλ(-ω))].
由定理3.3.10和定理3.3.11可以猜想,对任意的n≥3,在一定条件下,微分系统(3.3.19)以式(3.3.29)为反射矩阵,并且有
W=det(F(-ω)-E)
=[α(-ω)-1]n-2[(α(-ω)-1)2+2α(-ω)(1-cosλ(-ω))].
免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。