考虑线性微分系统

A（t）=（a_ij（t））_n×n为连续矩阵函数，t∈R.

这里R（t，x）为连续可微函数，且保证系统（3.2.2）的Cauchy问题的解存在唯一.

定理3.2.1 若，则F（t，x）=F（t）x为系统（3.2.2）的反射函数的充要条件为

证 必要性 设F（t，x）=F（t）x为系统（3.2.2）的反射函数，则由反射函数的基本关系式得

将式（3.2.3）关于x求偏导并令x=0得

F′（t）+F（t）A（t）+A（-t）F（t）=0.

将此再代入式（3.2.3）得

F（t）R（t，x）+R（-t，F（t）x）=0.

综上即得必要性成立.充分性 显然成立.

推论3.2.1F（t）为系统（3.2.1）的反射矩阵，则系统（3.2.2）与系统（3.2.1）等价，当且仅当

F（t）R（t，x）+R（-t，F（t）x）=0. （3.2.4）

由上面结论可知，若线性系统（3.2.1）的反射矩阵已知，则可以写出与系统（3.2.1）等价的微分系统类（3.2.2），只要R（t，x）满足式（3.2.4）即可.例如我们可以任取R（t，x）=F（-t）r（t，x）-r（-t，F（t）x），这里r（t，x）为任意连续可微函数.显然R（t，x）满足关系式（3.2.4）.当微分系统（3.2.1）和系统（3.2.2）皆为2ω-周期系统时，则它们的Poincaré映射相同，从而其周期解的个数相同，性态也相同，这样我们就可以利用线性系统来研究非线性微分系统参考文献（[99，116，127，150]等）.

例3.2.1 微分系统[150]

具有反射函数

这里a（t）+a（-t）=b（t）+b（-t），r_ij=r_ij（t），β_ij=β_ij（t）都是奇连续可微函数，，.当该微分系统为2ω-周期系统时，若α（-ω）=1，则该系统在[-ω，ω]上有定义的所有解皆为2ω-周期解，当α（-ω）≠1时，该微分系统的2ω-周期解唯一，且该解当α（-ω）＜1时渐近稳定；当α（-ω）＞1时不稳定.

例3.2.2 微分系统[150]

与线性系统

等价，且它们的反射函数

这里r_i，β_i（i=1，2，…，5）为任意连续可微的奇函数，k_i∈Z⁺（i=1，2，3，4）.当r_i，β_i（i=1，2，…，5）都是2π-周期函数时，这些微分系统的解皆为2π-周期解.

由上我们可知，研究线性微分系统的反射函数，对研究非线性微分系统具有极大的重要意义，现在我们来讨论线性系统的等价性.

定理3.2.2[56] 若连续可微矩阵Δ（t）满足

其中β_k（t）为连续奇函数，则对任意连续的奇函数α_k（t）和整数l，微分系统

等价于微分系统（3.2.1）.

证 设F（t）为系统（3.2.1）的反射矩阵，则

下面我们只需证明F（t）也是微分系统（3.2.6）的反射矩阵.为了证明该结论，我们首先证明

u（t）∶=F（t）Δ（t）-Δ（-t）F（t）≡0.

事实上，由于

u′（t）=F′（t）Δ（t）+F（t）Δ′（t）-（Δ（-t））′F（t）-Δ（-t）F′（t）.

将式（3.2.5）和式（3.2.7）、式（3.2.8）代入上式计算得

由于该方程为一阶齐线性方程，其满足条件u（0）=0的唯一解为u=0，从而有u（t）≡0.即F（t）Δ（t）=Δ（-t）F（t）.由此可推得F（t）Δ^k=Δ^k（-t）F（t），从而F（t）为微分系统（3.2.6）的反射矩阵.定理的结论得证.令B（t）=A（t）-α（t）Δ（t），则

考虑微分系统

定理3.2.3[55] 假设

1）对于连续可微矩阵A（t）和B（t），t∈R，存在一个连续可微的奇函数α（t）和连续的奇函数β（t）满足

（B′-A′+BA-AB）α+（α′+αβ）（A-B）=0. （3.2.10）

2）矩阵在R上连续可微.则微分系统（3.2.9）与系统（3.2.1）等价.

证 由定理的条件计算得

Δ′（t）=A（t）Δ（t）-Δ（t）A（t）+β（t）Δ（t），

由定理3.2.2得系统（3.2.9）与系统（3.2.1）等价.(www.daowen.com)

下面将讨论何时微分系统（3.2.1）等价于线性微分系统

这里C为n×n常数矩阵，m（t）为一个连续的纯量函数.

引理3.2.1 若m（0）≠0，则微分系统（3.2.11）等价于微分系统.这里D=m（0）C，n（t）为一个纯量偶函数，并且n（0）=1.

证 由于微分系统（3.2.11）的基解矩阵为，则其反射矩阵为

令

则F（t）也是微分系统

的反射矩阵，从而引理的结论成立.

由该引理可得，对于微分系统（3.2.11），我们不妨假设函数m（t）为偶函数且m（0）=1.

引理3.2.2 若微分系统（3.2.1）等价于微分系统（3.2.11），则C=A（0）.

证 若系统（3.2.1）等价于系统（3.2.11），其反射矩阵为F（t），则由本章3.1节得

A（t）=m（t）C+F（-t）R（t）-R（-t）F（t），

其中R（t）为任意连续矩阵函数.令t=0得

A（0）=m（0）C=C.

从而引理得证.

由此引理得m（t）C=m（t）A（0）.令B（t）=m（t）A（0）代入式（3.2.10）得

（A′（t）-m′（t）A（0））α+αm（A（t）A（0）-A（0）A（t））

-（αβ+α′）（A（t）-mA（0））=0. （3.2.12）由定理3.2.3得：

定理3.2.4 假设对于微分系统（3.2.1）存在连续可微的纯量偶函数m（t）和奇函数α（t），β（t）满足式（3.2.12），则系统（3.2.1）等价于微分系统

定理3.2.5 若定理3.2.4的条件满足，并且A（t+2ω）=A（t），则

1）微分系统（3.2.1）与系统（3.2.13）解的稳定性态相同；

2）微分系统（3.2.1）的解φ（t；-ω，x₀）为2ω-周期解的充要条件为系统（3.2.13）的解ψ（t；-ω，x₀）为2ω-周期解，x₀为F（-ω，x）=x的解.

证 由定理3.2.4知，微分系统（3.2.1）与系统（3.2.13）等价，其Poincaré映射为T（x）=F（-ω，x），由此及反射函数的基本引理即可推得该定理的结论.

例3.2.3 微分系统

等价于微分系统

其中，δ（t）为任意连续可微的奇函数，

a，b，c，d为常数.

取，则

由定理3.2.3得上面两个线性系统等价.

现在来考虑微分系统

何时具有形如

的反射矩阵？这里M（t），A（t）为n₁×n₁阶矩阵，D（t），N（t）为n₂×n₂阶矩阵，（n₁+n₂=n）.B（t）为n₁×n₂阶矩阵，C（t）为n₂×n₁阶矩阵.

引理3.2.3 若系统（3.2.15）为系统（3.2.14）的反射矩阵，则M（t）为的反射矩阵，N（t）为的反射矩阵，且MB+B（-t）N=0，NC+C（-t）M=0.

该引理可由反射矩阵的基本关系式直接推得.

定理3.2.6 若矩阵A（t），B（t）满足

则矩阵（3.2.16）为微分系统（3.2.15）的反射矩阵，且

该定理的结论只需验证引理3.2.3的条件成立即可.

例3.2.4 若在式（3.2.15）中取，

则它的反射矩阵为式（3.2.16），其中，α，β，γ为任意连续可微的奇函数.