考虑微分系统
X（t，x）关于x具有连续的偏导数，且X（t+2ω，x）=X（t，x）.
同时考虑微分系统
假设该系统的解z（t；τ，z0）在[-ω，ω]上有意义，则在R上有意义.由于其右端函数为t的奇函数，则其反射函数F（t，z）=z，从而其任一解皆为2ω-周期的偶函数.
在式（2.4.1）中作变换x=z（t；-ω，y），则式（2.4.1）可化为
显然，上式右端为t的偶函数.
记φ（t；τ，x）为式（2.4.1）的解，ψ（t；τ，y）为式（2.4.3）的解.
定理2.4.1 若X（t，x）连续可微，且X（t+2ω，x）=X（t，x），微分系统（2.4.2）的解在[-ω，ω]上有定义，则存在微分系统（2.4.3），其右端为t的偶函数，且它的Poincaré映射与系统（2.4.1）的Poincaré映射相同，即
φ（ω；-ω，x）=ψ（ω；-ω，x）.
证 由前面的推导得
φ（t；-ω，x）=z（t；-ω，ψ（t；-ω，x）），
令t=ω得
φ（ω；-ω，x）=z（ω；-ω，ψ（ω；-ω，x））.
又 z（t+2ω；-ω，y）=z（t；-ω，y），
令t=-ω得
z（ω；-ω，y）=z（-ω；-ω，y）=y，
则有
φ（ω；-ω，x）=z（ω；-ω，ψ（ω；-ω，x））=ψ（ω；-ω，x）.
由该定理可知，若微分系统（2.4.2）为可积系统时，此时我们可以用式（2.4.3）来研究系统（2.4.1）.例如，微分方程
，这里f（t，x）为t的偶的向量函数，A为常数矩阵，a（t）为任意连续可微的纯量函数，b（t）为连续的向量函数.此时式（2.4.2）可写成
定义2.4.1 可微的2ω-周期函数A（t，x）=At（x），A：R1+n→Rn，对∀t∈R，函数At：Rn→Rn是一个微分同胚，则称At为ω-微分同胚.
定义2.4.2 反射函数F（t，x）=Ft（x）和Φ（t，x）=Φt（x）称为ω-相似，
若存在一个ω-微分同胚At，使得
Φt=A-t°Ft°At-1.
定义2.4.3 可微的2ω-周期系统（2.4.1）与
称为ω-相似，若它们的反射函数ω-相似.
定理2.4.2 若微分系统（2.4.1）与系统（2.4.4）的解在R上有意义，则它们称为ω-相似，当且仅当，它们的Poincaré映射相似.
证 必要性 设系统（2.4.1）与系统（2.4.4）为ω-相似，则由定义2.4.3知，它们的反射函数是ω-相似的，即
Φt=A-t°Ft°At-1.
这里At为ω-微分同胚，则At+2ω=At，从而Aω=A-ω，因此有
Φ-ω=Aω°F-ω°A-1-ω=A-ω°F-ω°A-1-ω.
即系统（2.4.1）与系统（2.4.4）的Poincaré映射相似.(www.daowen.com)
充分性 设微分系统（2.4.1）与系统（2.4.4）的Poincaré映射相似，由于任一个系统的任意两个Poincaré映射都相似（见第1章1.2节），因此不失一般性，我们仅考虑相似映射φ（2ω，0）和ψ（2ω，0），则存在某个微分同胚S使得
ψ（2ω，0）=S°φ（2ω，0）°S-1.
令At=ψ（t，0）°S°φ（t，0）.下证At为ω-微分同胚.
事实上，
At+2ω=ψ（t+2ω，0）°S°φ（0，t+2ω）=ψ（t，0）°ψ（2ω，0）°S°φ（0，2ω）°φ（0，t）
=ψ（t，0）°S°φ（2ω，0）°S-1°S°φ（0，2ω）°φ（0，t）
=ψ（t，0）°S°φ（2ω，0）°φ（0，2ω）°φ（0，t）
=ψ（t，0）°S°φ（2ω，0）°φ-1(2ω，0）°φ（0，t）=ψ（t，0）°S°φ（0，t）=At.
从而At为ω-微分同胚.
又
A-t°Ft°At-1=ψ（-t，0）°S°φ（0，-t）°Ft°φ-1（0，t）°S-1°ψ-1（t，0）
=ψ（-t，0）°S°φ（0，-t）°φ（-t，0）°φ（0，t）°φ（t，0）°S-1°ψ（0，t）
=ψ（-t，0）°ψ（0，t）=Φt.
从而定理得证.
推论2.4.1 若2ω-周期系统（2.4.1）和系统（2.4.4）ω-相似，则它们的周期解一一对应.
证 由于
Φt=A-t°Ft°At-1，
则
ψ（-t，t）=A-t°φ（-t，t）°At-1.
从而有
由此即得上述结论.
推论2.4.2 2ω-周期系统（2.4.1）在[-ω，ω]上有意义的解皆为2ω-周期解的充要条件是该系统与
证 必要性 设系统（2.4.1）的解皆为2ω-周期解，则对于∀x有φ（-ω，ω）（x）=x，即F-ω=E.又
的反射函数为Φ（t，x）=x，则Φ-ω=E，从而有Φ-ω=E°F-ω°E-1.即系统（2.4.1）与
ω-相似.
充分性 若
Φ-ω=Aω°F-ω°Aω-1，
则
ψ（-ω，ω）=Aω°φ（-ω，ω）°Aω-1.
又ψ（-ω，ω）=E，则φ（-ω，ω）=E，即φ（-ω，ω）（x）≡x，对∀x.因此，系统（2.4.1）的所有解皆以2ω为周期.
由上述结论可知，要研究周期系统周期解的存在性，可以在与其等价或ω-相似的微分系统中，找一个简单系统来研究，然后根据相似性得出所要研究的微分系统周期解的性态.
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