为以后几节的需要，本节主要介绍周期微分系统解的一些性质.

考虑微分系统

假设该系统满足下列条件：

（Ⅰ）X（t，x）连续可微，且对∀（τ，x）∈Rⁿ⁺¹，其Cauchy问题具有唯一解

（Ⅱ）X（t+2ω，x）=X（t，x），ω为正的常数.

定义1.2.1

它具有以下性质：

这些性质可由解φ（t；τ，x）的性质推得，下面我们以性质ⅳ为例来证明.

证 由于（1.2.1）为2ω-周期系统，则φ（t+2ω；β，x）与φ（t；0，φ（2ω；β，x））均为系统（1.2.1）的解.又φ（t+2ω；β，x）t=0=φ（2ω；β，x）=φ（t；0，φ（2ω；β，x））t=0，则由解的唯一性得φ（t+2ω；β，x）=φ（t；0，φ（2ω；β，x））.特别地，取t=α即得

φ（α+2ω，β）=φ（α，0）φ（2ω，β）.

定义1.2.2 映射φ（α+2ω，α）：xφ（α+2ω；α，x），α∈R，称为微分系统（1.2.1）的Poincaré映射.

Poincaré映射的定义域为∀x∈Rⁿ，相对于系统（1.2.1）的解tφ（t；α，x）的定义域为所有t∈[α，α+2ω].

定理1.2.1 （基本原理）^[65，70]微分系统（1.2.1）的在[α，α+2ω]有定义的解φ（t；α，x）为2ω-周期解的充要条件为x是Poincaré映射φ（α+2ω，α）的不动点.

证 必要性 若φ（t+2ω；α，x）=φ（t；α，x），则φ（α+2ω；α，x）=φ（α；α，x）=x，即φ_{（α+2ω，α）}（x）=x.

充分性 设x为φ_{（α+2ω，α）}的不动点，即

φ（α+2ω，α）（x）=φ（α+2ω；α，x）=x.由于φ_{（t+2ω；α，x）}和φ（t；α，x）都是式（1.2.1）的解，且在t=α处它们相等，则由解的唯一性得φ（t+2ω；α，x）=φ（t；α，x），故φ（t；α，x）为2ω-周期解.

由此结论知，若对某个α∈R，找到Poincaré映射T=φ（α+2ω，α），则由方程T（x）=x将找到系统（1.2.1）过（α，x）的所有2ω-周期解.

设S：Rⁿ→Rⁿ的一个微分同胚，若y为映射S^-1T的不动点，即S^-1TS（y）=y，则x=S（y）为方程T（x）=x的解.(www.daowen.com)

设微分系统

则与微分系统（1.2.1）一样满足条件（Ⅰ）和条件（Ⅱ）.

定义1.2.3 微分系统（1.2.1）的Poincaré映射φ（α+2ω，α）和微分系统（1.2.2）的Poincaré映射ψ（β+2ω，β）称为相似的，若存在一个微分同胚S，使得

ψ（β+2ω，β）=S^-1φ（α+2ω，α）S.

由此可得下列结论：

1）同一系统的任意两个Poincaré映射相似；

2）若微分系统（1.2.1）与系统（1.2.2）的Poincaré映射相似，则这两个系统的2ω-周期解一一对应；

3）利用Poincaré映射的相似可以将满足条件（Ⅰ）和条件（Ⅱ）的微分系统分成等价类，所谓等价类，即两个系统属于同一等价类，当且仅当，它们的Poincaré映射相似.

事实上，由前面的通过系统（1.2.1）解的映射的性质可得

φ_{（α+2ω，α）}=φ_（α，0）φ_{（2ω，0）}φ_（0，α）=φ^-1_（0，α）φ（2ω，0）φ（0，α）.

由此可以看出，系统（1.2.1）的任意一个Poincaré映射φ（α+2ω，α）相似于φ（2ω，0），从而结论1）成立.

结论2）可由x=S（y）确定了系统（1.2.1）和系统（1.2.2）的2ω-周期解之间的一一对应关系.

结论3）显然.

定义1.2.4 设T是一个映射，x₀为其不动点.不动点x₀称为Lyapunov意义下稳定的，若对∀ε＞0，∃δ＞0使得对一切n≥1，当x-x₀＜δ时，有Tⁿx_-Tⁿx₀＜ε.若x₀在Lyapunov意义下稳定，并且有则称x₀为渐近稳定^[20].

定理1.2.2 微分系统（1.2.1）的周期解φ（t；α，x）在Lyapunov意义下稳定（渐近稳定），当且仅当，系统（1.2.1）的Poincaré映射φ_{（α+2ω，α）}的不动点x稳定（渐近稳定）.

证明见参考文献[20].

综上，我们可以看出，要研究系统（1.2.1）的周期解的存在性和稳定性，我们可以应用任何一个Poincaré映射φ_{（α+2ω，α）}，∀α∈R.在本书中我们仅应用映射φ_{（α+2ω，α）α=-ω}=φ_（ω，-ω）.因此，在下文中的“Poincaré映射”，若不特别声明，仅是指映射φ_{（ω，-ω）}：xφ（ω；-ω，x），可以简记为T（x）=φ（ω；-ω，x）.