考虑Cauchy问题：

其中x为Rⁿ中的向量，f是实变量t和n维向量x的n维向量值函数.

定理1.1.1 （存在唯一性定理）

若f（t，x）在开区域G⊆R×Rⁿ中满足下列条件：

1）f在G内连续，简记为f∈C（G）；

2）f关于x满足局部Lipschitz条件，即对于点P₀（t₀，x₀）∈G，∃ G₀={（t，x）|t-t₀|≤a，x-x₀≤b}⊂G

和依赖于P₀点的常数L_p0，使得对∀（t，x₁），（t，x₂）∈G₀，有不等式 f（t，x₁）-f（t，x₂）≤L_p0x₁-x₂ （1.1.2）

成立，其中·表示欧氏范数.

则Cauchy问题（1.1.1）在区间t-t₀≤h^∗上存在唯一的解，其中

证 容易看出，在区间t-t₀≤h∗上Cauchy问题（1.1.1）等价于积分方程

的求解问题.取B为定义在区间t-t₀≤h^∗上的一切连续函数所构成的空间，D为定义在区间t-t₀≤h^∗上且图像包含在G₀中的一切连续函数所构成的集合.现定义在连续函数空间C[t₀-h^∗，t₀+h^∗]上的映射：

由于

所以，映射（1.1.5）把集合D映射到它自身.要证明积分方程（1.1.4）存在唯一解，也就是要证明映射（1.1.5）存在唯一的不动点：x^∗=Tx^∗.下面利用Banach空间的压缩映像原理来证明.

设∀x₁，x₂∈D，由式（1.1.4）得

由Lipschitz条件（1.1.2）知

由式（1.1.3）知，L_p0h^∗＜1.因此，由式（1.1.5）所定义的映射T是一压缩映射，由压缩映射原理知其存在唯一的不动点.（这里以及下文中的范数都为欧氏范数）

由定理1.1.1知道，Cauchy问题（1.1.1）的解，至少在t-t₀≤h^∗上存在，这一局部性的存在定理大大限制了解的实用范围和理论研究，人们自然要问，对于给定的Cauchy问题，能否确定其解存在唯一的最大区间？下面将给予肯定的回答.

假设定理1.1.1的条件成立，由定理1.1.1可知，Cauchy问题（1.1.1）的解在区间t-t₀≤h^∗上存在唯一.我们先将解向右延拓，令t₁=t₀+h^∗，x（t₀+h^∗）=x¹，易见若P₁（t₀+h^∗，x（t₀+h^∗））∈G₀⊂G，由于P₁是G的内点，故必存在闭区域

G₁={（t，x）t-t₁≤a₁， x-x¹≤b₁}⊂G，

使f在G₁上对x满足Lipschitz条件，从而再根据定理1.1.1，此方程过点P₁的解记作x₁（t），它必在区间t-t₀≤h₁^∗上存在唯一，其中h₁^∗可类似于式（1.1.3）的定义.根据解的唯一性可知，在区间[t₁-h₁^∗，t₁]上，此方程过P₁的解x₁（t）必与过P₀的解x₀（t）重合.

定义

于是x（t）就是Cauchy问题（1.1.1）在区间[t₀-h^∗，t₂]上的唯一解.

若P₂（t₂，x（t₂））是G的内点，则可依上法再向右延拓.同理，可将解从点（t₀-h^∗，x（t₀-h^∗））向左延拓.如此继续，直到双方都不能再延拓为止.这时所得到的存在区间，称为解的最大存在区间，具有最大存在区间的解称为饱和解.容易看出，此最大存在区间必为开区间，记作（α，β），因为若一方（例如t=β）为闭，则解必可从t=β向右继续延拓.

定理1.1.2 设f（t，x）在区域G⊆R×Rⁿ内连续有界，且对x满足局部Lipschitz条件，若Cauchy问题（1.1.1）的解x（t）的最大存在区间为（α，β），α，β为有限数，则：

1）极限，存在；

2）点（α，x（α+0））与（β，x（β-0））均在G的边界上.

证 1）由于Cauchy问题（1.1）等价于积分方程

从而

其中M为f（t，x）的上界.

由于β为有限数，则当t₁，t₂→β-时，有x₁（t）-x₂（t）→0.由Cauchy收敛准则知极限x（β-0）存在.同理可证x（α+0）存在.

2）若（β，x（β-0））不在G的边界上，则必为G的内点.从而可以由t=β-0向右继续延拓，这与（α，β）为解的最大存在区间相矛盾，则证明点（α，x（α+0））与（β，x（β-0））均在G的边界上.

若去掉f有界的条件，则可得如下定理：

定理1.1.3 设f（t，x）∈C（G），且对x满足局部Lipschitz条件，则Cauchy

问题（1.1.1）的解可延拓到G的边界任意接近处（包括可能趋于无穷）.

证 作有界区域G_n（n=1，2，…），使（t₀，x₀）∈G₁⊂G₂⊂…⊂G_n⊂…⊂G，且G⊂G_n+1（n=1，2，…），G_n→G，当n→+∞时.

对于闭区域，f在上有界，利用定理1.1.2可知，Cauchy问题（1.1.1）的解可向右延拓至G₁的某一边界点P₁，P₁∈G₂.对闭区域G₂利用定理1.1.2可知，此解可继续由P₁向右延拓至G₂的某一边界点P₂.依此类推，可得到点列{P_n}，n=1，2，….由于当n→+∞时G_n→G，故{P_n}必可与G的边界任意接近.同理可讨论向左延拓.

定理1.1.4 设f（t，x）在全空间R×Rⁿ上连续、有界，且对x满足局部Lipschitz条件，则Cauchy问题（1.1.1）解的存在区间为（-∞，+∞）.

证 由定理1.1.3可知，解可延拓到与R×Rⁿ的边界任意接近，即可延伸至无穷.故要保证可关于t无限延拓，只需证明在定理的条件下，其解在任意有限区间上均有界.事实上，由于

这一结论是显然的.

在定理1.1.4中，要求f在全空间上有界，但这一条件太强，为了减弱条件，下面给出一个著名的引理.

Gronwall引理 设一元函数g（t）与φ（t）在区间[t₀，t₁]上连续，g（t）≥0，常数λ≥0，r≥0.若

则

证 令

两边对t求导得

ψ′（t）=g（t）φ（t）+r， （1.1.9）(www.daowen.com)

由式（1.1.6）得φ（t）≤ψ（t），代入式（1.1.9）得

ψ′（t）-g（t）ψ（t）≤r，

两端乘以积分因子得

即

两端分别由t₀到t积分得

又ψ（t₀）=λ，从而有

定理1.1.5 设f（t，x）在全空间R×Rⁿ上连续，对x满足局部Lipschitz条件，且

f（t，x）≤Nx （N为一正常数），

则∀（t₀，x₀）∈R×Rⁿ，Cauchy问题（1.1.1）的解的存在区间均为（-∞，+∞）.

证 仿照定理1.1.4，我们只需证明在任一有限区间上，Cauchy问题（1.1.1）的解都是有界的.假设存在有限数b＞t₀，使得解x（t）在[t₀，b）上无界，当t∈[t₀，b）时，有

应用Gronwall引理得

与x（t）在[t₀，b）上无界矛盾.所以解向右对t可延拓至+∞.同理可证向左延拓至-∞.

若f的定义域不是全空间而是G=R×D，D⊂Rⁿ，那么定理1.1.4和定理1.1.5均不能保证解关于t可无限延拓，因为解可能在有限时刻到达D的边界，这时有下面定理.

定理1.1.6 设f（t，x）在区域G=R×D，D⊂Rⁿ内连续，有界且满足局部Lipschitz条件，若Cauchy问题（1.1.1）的解的几何长度无限，则此解的存在区间必为（-∞，+∞）.

证 设S（t）是解所表示的曲线的弧长函数，S（t₀）=0，由弧微分公式可知

其中M是f（t，x）的上界，两端分别从t₀到t（t＞t₀）积分得S（t）≤M（t-t₀）.由于S（t）无限，所以必有t→+∞.同理可证t→-∞.

定理1.1.7 （解对初值的连续依赖性）

设f（t，x）在域G⊆R×Rⁿ内连续，满足局部Lipschitz条件，（t₀，x₀）∈G.并设有界闭区间[a，b]为Cauchy问题（1.1.1）的解的一个存在区间，则其解x（t；t₀，x₀）在区间[a，b]上是初值（t₀，x₀）的连续函数.

证 为了证明的需要，首先我们来构造一个解曲线段C={x=x（t；t₀，x₀）a≤t≤b}的邻域U∈G，使得对∀（t，x₁），（t，x₂）∈U，f对x的Lipschitz条件满足且有共同的Lipschitz常数L.事实上，对于曲线C上任一点Pi必存在一个n+1维空间的球形邻域，使得在U_i内f对x的局部Lipschitz条件成立，其Lipschitz常数记作L_pi.由于C是一有界闭集，由有限覆盖定理可知，存在有限个球形邻域U_i（i=1，2，…，m）将曲线C覆盖.取，且，容易看出，且∀（t，x₁），（t，x₂）∈D，

f（t，x₁）-f（t，x₂）≤Lx₁-x₂ （1.1.10）

成立.设D的边界集合与集合C的距离为d，则以C上每点为中心，d为半径的所有n+1维开球域的全体所构成的区域D₀⊆D.

下证解对初值的连续性.设过初始点（t₀，x₀）与的解分别为x=x（t；t₀，x₀）与，即要证对∀ε＞0（不妨设ε＜d），∃δ（ε）＞0，使得只要解必在区间[a，b]上存在，而且有

成立.易见两个解x和x都位于区域D₀时有

其中（或

由Gronwall引理得

由式（1.1.12）不难看出，只要选取

则当，时，过初始点的解必满足不等式由此可知，解也必在[a，b]上存在.如果x仅在区间上存在，，，则在区间上重复式（1.1.12）导出的过程可得

从而可知解曲线x（t；，）上的点，（；x（；，））与（；x（；，））均必位于D₀内部，从而还可以进一步延拓.

于是，当式（1.1.13）成立时，即有式（1.1.11）在区间[a，b]上成立.

定理1.1.8 （解对方程右端函数的连续依赖性）

设f（t，x）满足定理1.1.7的条件，则在区间[a，b]上，Cauchy问题（1.1.1）的解将随方程的右端函数f（t，x）而连续变化.

证 考察Cauchy问题：

其中f与g在G⊆R×Rⁿ上连续，且均满足局部Lipschitz条件.g是方程右端扰动所产生的项，g＜δ＜＜1，（t，x）∈G.设其解分别为x（t）和（t），t∈[a，b].∀ε＞0，我们来求δ（ε）＞0使得只要g＜δ，便有成立.事实上，利用两个Cauchy问题所对应的积分方程可得（t＞t₀）

由Gronwall引理得

则对∀ε＞0，，当g＜δ时，有

定理1.1.9 （解对参数的连续依赖性）考察Cauchy问题

若f关于t，x，μ在区域G⊆R×Rⁿ×R^m内连续，对x满足局部Lipschitz条件，并设对于给定的μ⁰∈R^m，式（1.1.14）的解在闭区间[a，b]上存在，则对使μ-μ⁰＜＜1的μ，问题（1.1.14）的解仍在[a，b]上存在，而且对μ连续.

证 此定理的结论可以直接由定理1.1.8得出.为此，将式（1.1.14）中的方程改写为

记 g（t，x，μ）=f（t，x，μ）-f（t，x，μ₀）.

由于f关于μ连续，故当μ-μ₀＜＜1时，有g＜＜1，再应用定理1.1.8便得解对μ连续的结论.

定理1.1.10 （解对初值和参数的可微性）设f（t，x，μ）对t是r-1次连续可微的，对x和μ是r次连续可微的，则Cauchy问题（1.1.14）的解x=x（t，t₀，x₀，μ）对t，t₀，x₀，μ而言是r次连续可微的.

定理1.1.11 （解对初值和参数的解析性）设f（t，x，μ）在区域

G={（t，x，μ）t-t₀＜a，x-x₀＜b，μ-μ₀＜c}是t，x，μ的解析函数，则Cauchy问题（1.1.14）的解x=x（t，t₀，x₀，μ）也是t，t₀，x₀，μ的解析函数.