（1）关于笛卡儿

笛卡儿（1596—1650年）的数学取名为几何学，写在了《方法序说》这本书的附录部分。其中笛卡儿列举了4种研究方法。第一，首先要怀疑一切。也就是说不要相信自己不能理解的所谓“正确”的事情。第二，分析。即使是困难的事情，只要巧妙地把它们拆开，一一解决，不管是什么样的困难都能解决。第三，综合。把分拆开的东西以适当的方法有秩序地连接起来。第四，重新考虑一下整体是否有被忽略的地方……

（2）坐标与分析综合

笛卡儿想出了今天的坐标并改变了几何学的思维模式，笛卡儿的几何学被称作“解析几何”。解析几何是从确定点的位置开始进行的研究。图形中最简单的就是点，把这个点的位置分成纵向和横向，长度和宽度由数字表示。点的位置由2个数表示，因此几何学就与数字世界联系在一起。通过数量的计算使得研究图形的性质成为可能。笛卡儿曾说，他从事的工作就是让几何可以用代数来完成。因为几何可以直接观测，观测的方法固然好，但是没有办法观测很细微的事物。相比之下，代数虽然观测效果不佳，但可以用计算这种非常精密的方法得出更加准确的结论。也就是说，通过双方的优点来互补缺点。笛卡儿的功劳就是将几何学和代数学这两门分离的学科结合起来。

感想：我觉得笛卡儿真是个了不起的人，他会用坐标来表示和计算图形……然后，我惊讶地发现，这四种研究方法都是最近才学到的微积分的本质。书上写的和老师说的一模一样。另外还没做的2件事也很有意思。因为我是一个经常因为粗心而失败的人，所以我要好好记住这些，提醒自己以后少犯错。

（3）地心说和日心说

变化和运动：解析几何使用坐标可以捕捉到运动和变化的物体。在笛卡儿之前，我们无法从科学的角度来看待运动和变化，但笛卡儿的几何学使这一点一下子成为可能。可以说，中世纪的数学是静态的，与之相对，笛卡儿使数学发生了动态变化。

从地心说到日心说：当人类在地球这样极其狭窄的地方思考的时候，他们一直在强调地球不会移动而太阳在移动的地心说。但是哥白尼推翻了这种理念（哥白尼认为太阳是宇宙的中心，而不是地球）……

伽利略和日心说：布鲁诺发表其学说之后过了数十年，伽利略（1564—1642年）以其缜密的逻辑提出了日心说……在很多前人牺牲的基础上最后完成日心说理论的是牛顿。牛顿巧妙地统一了伽利略和开普勒的工作，创造了牛顿定律。新的数学——微积分——成了牛顿的武器。

感想：没想到现在觉得理所当然的日心说，是那么多前辈牺牲才换来的结果啊！

我认为布鲁诺、伽利略和其他人挑战《圣经》的“权威”等行为被当权者臆断为会危及国家统治的想法是很不对的……我以前也不知道牛顿曾用微积分学来证明太阳系的运动定律。牛顿总结了其他科学家的想法，并最终完成了牛顿定律的创建。这样看起来相当有趣，就像是几个人一起做一件事，一步一步完成的接力赛。(www.daowen.com)

（4）微积分

微分、积分的本质正好对应笛卡儿四种研究方法中的第二和第三种。也就是说，微分是分析，积分是综合。如果你把曲线细分，只看一部分，它就会逐渐变成一条直线。曲线很难理解，但如果是直线的话就容易理解了。这就是微分。但在这种情况下，虽然可以精确地观察部分，但视角会变窄。为了弥补这一点，把这些部分连接起来的数学理论产生了，这就是积分。

微积分的效用：曾有人用微积分揭示当时最大的问题，即太阳系的运动……

感想：一想到我们正在用很简单的方法来实践有名的牛顿想出来的微积分，就觉得自己像个天才。

（5）函数

“函数”的英文是“function”，意思是功能，简单地说就是工作。

莱布尼茨第一次提出这样一种观点：“黑盒”……特别是解释y=x2的工作原理的就是函数。莱布尼茨告诉我可以用函数“眼镜”看待各种现象。一旦拿起“眼镜”，通过“眼镜”可以更深刻地观察各种现象。

因果法则：在许多情况下，自然法则代表了原因和结果之间的联系。它采取了因果法则的形式，也就是说，有了这些原因，自然就会产生这些后果。伽利略发现的自由落体定律就是一个例子……简而言之，函数就是用来表达量化了的因果定律的。进行彻底的分析、综合，推进函数的研究的方法就是微积分。

感想：当我还是个初中生时，只是把函数当作函数来看待。因为计算问题中有图像，所以不太喜欢，但是，上了高中，当我开始把函数想成是“黑盒”之后，就觉得容易思考了。一个叫戈特弗里德·莱布尼茨的人把这种想法告诉了我们大家。在这种想法的基础上，我们就可以把自动贩卖机和冷冻柜都看成是“黑盒”。正如老师所说，虽然作者对芭蕉俳句的解释，有点不同，但作者的思维方式我是懂的。当我“戴上函数的新眼镜”的时候，能发现新的东西，函数很有趣。另外，表达量的因果定律也相当有趣……