实验1：成为正方形的1/3

通过使用天平的实验可以确认函数图像下方斜线部分的面积是正方形面积的1/3。因此我们建立一个假说来做以下实验：因为斜线部分是正方形的1/3，所以三者加起来的话，应该正好和正方形的面积相等。同理，用同材质的厚纸制作1个正方形和3个斜线部分，放在天平上的话，重量也应相等。

假设斜线部分面积是正方形面积的1/3，然后在天平上进行实验，这在学生看来是完全无法预测的事情，所以学生觉得很有意思：“从让人难以置信的假设开始做这种实验，好像越来越喜欢数学了。”

实验2：不管从哪里剪开，面积都是1/3

图24　重量实验1

用天平把1个小长方形和3个斜线部分放在天平上就平衡了。

对y=x2的图进行确认，会发现不管哪种情况都能平衡。

图25　重量实验2

因此，我们发现如果知道长方形的面积，那么作为其1/3的斜线部分的面积就可以很快求出来。

实验3：在y=x3的图中，1个长方形和4个斜线部分的重量是相等的

图26　重量实验3(www.daowen.com)

所以，斜线部分的面积是长方形面积的1/4。

实验4：在y=x5的图中，1个长方形和6个斜线部分的重量是相同的

图27　重量实验4

所以，斜线部分的面积是长方形面积的1/6。

对于y=xn，不用做实验也能够知道，斜线部分面积是正方形面积的1/（n+1）。

综上所述，在y=xn这个函数中，斜线部分的面积为长方形面积的1（n+1）。即定积分的公式。

“天平的实验让我很吃惊，但是也让我心悦诚服！”

“至今为止我上了11年数学课，但从来没有用过天平。而且，还用天平确认了斜线部分面积是长方形面积的1/3，数学课上总做一些让人匪夷所思的事，好像越来越喜欢数学了。”

“没想到会用天平。但是天平平衡的时候吓了一跳。我以为数学只是计算，没想到也可以用天平学习啊。”

“啊！原来如此。原来世界上有那么多奇妙的事啊！”

“可以实际地来做实验真是一件很好的事。如果只是老师说的‘1/3’，我就不一定能理解。就算以后回想起来，也会有‘啊，那个时候用天平称过啊’这样的记忆。”