（1）新的“黑盒函数”——导数的诞生

将物质细分的这种微分本质的思路，虽然有着能计算物体下落时任意时刻速度的惊人的能力，但是我们也知道不从1开始反复计算就得不出答案。也就是说，为了得出某一秒的时候的瞬间速度，需要进行3次甚至4次同一个模式的计算，再从那个结果中找出规律。

这样的复杂的过程当然会引领学生进入下一阶段的学习。教材把这种计算命名为“单模式计算”，这反而使学习内容更加抽象了。像1+1、3+5、6+4这样的单模式加法，导入文字后，就成了a+b这样抽象的式子。

文字就像是数学这个世界的归纳者。以前就经常被使用的“对数”这个词，也表达了文字是数的“代理人”的含义。借助文字的力量，单模式计算的重复计算过程仅仅需要一次计算就能解决。

如果把重复单模式的计算，一步一步地接近答案的最初的方法称为“山路”的话，那么接下来这个阶段的方法就可以叫作“沙路”了吧。

在这个“沙路”中，实际计算物体的掉落速度的时候，会发现这么一个法则：时间变成2倍的话，相应的速度也会变成2倍。根据这样的关系，就能发现新的求速度的方法。不需要一步一步地计算，用这个方法就能提前得出速度。

因此，我们知道可以用“x秒后”这样的“数字代理人”的表述来取代“1秒后”“2秒后”“3秒后”这样具体的描述。

这样的话，从这个计算结果来看，就会出现一个新的“黑盒函数”，即只要从入口输入时间，就能得到那个时间点的速度的新的“黑盒函数”——导数。这种方法可以称作“沥青路”。再用这种方法整理几个求导的“黑盒函数”的话，还会发现这里也有隐藏的法则。

只要掌握了这个法则，就能更加简单地创造出新的“黑盒”，这就是微分法。在课程中，我把微分法制作成了《诚调氏的大发现》这份学习资料，让同学们可以带着惊讶和疑问来学习。(www.daowen.com)

（2）通往“高速公路”——微分法的发现

发现这个新的“黑盒函数”的创造方法——微分法，是我们在“山路”“沙路”“沥青路”上摸索了2个多月的长期劳苦的成果。也让大家再次体会到了收获的喜悦。

我很兴奋地走向教室。拿到资料，开始整理至今为止所学知识的学生，紧紧地盯着资料，思考着微分法的公式——（xn）’=nxn-1。

学生开始逐渐发现一些简单的求导数的微分法的公式，得出结论后，暂时闭上眼睛沉思。不久后，开始一边和旁边的人对比思考公式，一边进行着“像这样就可以了吧”这样热烈的讨论。

这个新的计算方法，也就是微分法，和“山路”“沙路”“沥青路”的方法比起来，就像是“高速公路”。之后，为了实际地确认一下“高速公路”的美妙之处，在1979年，我决定再开设一门课程，那就是重新整合了的从4月开始学习了2个月的“四种道路”的课程。

学生在题名为“终于从‘山路’到了‘高速公路’”的感想中，写出了很多有意思的感想，如“我终于明白了数学和人类的伟大之处”“有一种一层一层地往上爬，终于爬到顶层的感觉”“就算是同一个问题，即使一开始的时候算得很长很复杂，最后都可以很简单地完成”“人类还真是有着很厉害的能力啊”等等。

通过把从“山路”到“高速公路”的流程进行重新整理，学生总算是得知了自己一层一层地向高处攀登的意义，认识到了自己获得了飞跃性的巨大力量，明白辛苦学习的意义，明白了在事物的关联之中抓重点的重要性。学习并不是在混乱零碎的过程中结束的，而要有意识地把这些碎片综合起来，这能让学生发现人类的伟大之处以及有向更高的高度迈进的欲望。