在小学时代，背诵九九乘法表简直被奉为至高命令。但能够回答出其含义的高中生才占全体的百分之几呢？更别提大学生和成人了。

可以想象，即使是学了微积分，能意识到其与乘法和除法相关联的学生也很少。就像背会了九九乘法表，学习了微积分，就可以像操纵方向盘那样简单自如地去学习数学似的。

学习能力问题的本质与其说是实践问题，不如说是对基本含义是否疏忽、是否理解的问题。

图15　单位量不同的事物

从微积分开始就把乘法及其含义理解透彻，对掌握微积分以及通过学习而发现未知领域来说至关重要。1979年我首次在一堂2小时的课程中提到“乘法的含义”这一概念。因为几乎所有的学生在小学校接受的都是“乘法就是加法的简单改写”这样的教育。也就是说，学生都能回答出2×3等于2+2+2。于是我在黑板上写下了“2×1”“2×0”“2×1÷2”并要求学生把它们换算成加法。如果学生认为乘法仅仅是加法的叠加，那就很难对以上内容进行说明了。因此，首先要把学生对于乘法的既成概念破坏掉，用和加法完全不同的概念“单位量×份数=全部量”取而代之，以此来进行说明。

例如，在2×3=6中寻找每1单位为2的量，如每1只兔子有2只耳朵，共有3只兔子，全部数量就是6只耳朵，即每1只兔子有2只耳朵×3只兔子=共有6只耳朵。即像这样理解乘法的话，具体数量的印象就会浮现在脑海中。这正是乘法的有趣之处。学习基础含义之所以重要，是因为学习的乐趣之一是可以让人更加清楚与现实世界的关联。乘法也是如此，将其与现实的各个事物相联系，就会变得生动有趣。

因为每1单位为2的东西有无数个，所以像2×3=6这样的式子能写出无数个。如果我们把时速当作每小时前进的距离，那2×3=6就可以用来表示“每小时前进2千米×3小时=前进了6千米”。2×0=0表示它还没有移动，所以它前进的距离是0千米。2×1÷2=1表示前进了1小时的一半的时间，可以理解为前进了1千米。

这样看来，会背九九乘法表和真正理解乘法的含义完全是两回事。加法是2小时+3小时=5小时这样的同类量关系，而乘法是在“速度×时间=距离”中，通过速度和时间这两个量求出距离这一新的量。

图16　快乐九宫图·不同事物的单位量

用单位量来学习乘法的乐趣莫过于此。微分和积分也不仅仅是计算，只有掌握了本质才能体会其乐趣所在。一直以来不加思考地使用九九乘法表的学生第一次明白了其含义，并惊讶道：“原来我们什么都不懂！”5秒内以一定的速度移动20米的话，此时的速度（单位量）是能通过除法计算得出的，20米÷5秒=4米/秒。但是，如果踩下刹车的汽车在5秒内移动了20米，虽然可以算出平均速度，但因为速度在不断下降，所以1秒后的速度和3秒后的速度是不同的。这样一来，我们似乎就束手无策了。此时，通过微分可以求出每时每刻的速度变化。除法和微分在求速度这一单位量这一点上是共通的，可以根据单位量是否变化来决定使用哪一个。根据单位量的变化，就能将乘法、除法和微分、积分的世界分开。(www.daowen.com)

学习微积分，就是要从没有每1单位变化的乘法、除法的世界，踏入一个变化更为多样的新世界。因此，单位量是连接两个世界至关重要的枢纽，这也是我们为什么必须要学习乘法。

乘法一直就在我们身边——把握意义……又一种数学（《最讨厌数学》第5期，1979年5月10日）

即使是一道乘法运算（小K）

“没想到即使是一道加法运算也有这么多的意义，实在是让人佩服佩服。小学的时候，老师教3×3就是3+3+3，但是高中教的数学不仅颠覆了我的这个认知，并且还让我深入地思考了很多问题。”

周遭的一切（小F）

“让我大吃一惊的是，居然可以用身边的东西来学习乘法，而且再找下去的话肯定还能发现很多。以前我还觉得乘法挺难的呢，这样来学，既简单又有趣。”

用高中生的话来说（小N）

“‘单位量’本来是高中阶段的术语，但是没想到居然和乘法有那样的关联，真是太让人吃惊了。”

“不过0×3=0什么的还是挺难的。”

“学了这样的乘法的理解方法后，我们自己以后也可以写出例子来证明啦。”

（以下省略）