（一）教学案例

随机变量的数字特征课堂教学案例

选用教材为高职高专“十二五”规划教材高职数学，教学内容为“随机变量的数字特征”，是教材第10章第3节内容，预计教学时长2课时。

1.教学内容分析

该教材以教育部《高职高专教育高职数学课程基本要求》为指针，以培养能力、强化应用为出发点，遵循“需有所学、学有所用”的原则，注重将数学建模思想融入到教学中，结合数学软件培养处理数据及求解数学模型能力。全书共10章，分为基础篇（前7章）和应用篇（后3章）。随机变量的数字特征为概率论内容，其前期章节为随机事件及其概率、随机变量及其分布，后期的概率论知识（如随机过程等）已不属于高职教学范畴（属本科教学内容）。高职高专高职数学课程标准要求，通过概率论知识的学习要使学生初步理解处理随机现象的思想方法，掌握概率论的基本概念，培养学生运用概率论知识分析和解决实际问题的能力。

随机变量的数字特征的核心内容是数学期望和方差，它们是随机变量的两个最重要的数字特征。数学期望描述随机变量的平均取值，方差刻画随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。数学期望和方差的学习需要前期无穷级数、定积分等知识的支撑。

本次课程的教学重点是随机变量数学期望，教学难点是随机变量的方差。将随机变量的数学期望预设为教学重点，是因为离散型随机变量的数学期望其本质是“求和”，连续型随机变量与随机变量函数的数学期望形式上是定积分，本质也是“求和”，对“求和”思想的理解是掌握数学期望概念的关键，理解随机变量的数学期望的内涵对学习本节其他知识有决定性意义；而方差其实也是一种数学期望，是随机变量函数的数学期望，将随机变量的方差作为难点处理，是因为相较于数学期望其求和式或被积函数多了个“平方”，客观上增加了难度。求离散型随机变量的数学期望和方差有时涉及到无穷级数，求连续型随机变量的数学期望和方差涉及到广义积分，求方差比求数学期望相对困难一些。

对教学重点数学期望的教学，着重揭示其中蕴涵的数学思想，以期将其平移或内嵌到本节其他教学内容中；对教学难点方差的教学，将问题分解、搭建“脚手架”，借助Mathematica软件算出部分结果，教师指明解决问题的路径和方法（辅助性信息），供学生讨论探索。

2.学情分析

高职学生主体为参加普通高考或对口高考录取的学生，在目前高等教育大众化阶段，高职院校学生中学阶段的数学基础普遍较弱。中学阶段不愉快地数学学习经历使多数高职学生对数学望而生畏。目前，高职学生在数学学习上的突出表现是自主性差，缺乏科学的学习方法，课堂上不能跟着老师的思路走，对于所学的知识不善于整理归纳，头脑中不能形成知识链，综合性的问题不知从何下手。

3.教学目标

基于学生是学习的主体，本次课将教学目标的设定着眼于学生的学习目标。

知识目标：能陈述随机变量的数学期望、方差、标准差概念，能解释数学期望与方差的性质。

技能目标：会计算离散型随机变量、连续型随机变量的数学期望和方差，并能应用解决社会生活中的一些实际问题。初步掌握利用Mathematica软件求数学期望和方差、标准差的命令及操作。

情感目标：体会数学期望、方差及其理论中蕴涵的数学思想，养成严谨求实、勇于探究、团队协作的意识，以及用数学的思维理性看待事物，形成初步的批判性思维。

4.教学方法和策略。

（1）教学组织形式：本次课教学内容展示采用“多媒体课件+黑板”形式，教学内容讲授、课堂提问、小组讨论、布置作业等环节在多媒体教室进行，其他诸如师生交流、答疑、学法指导、数学软件操作、教学进度测评、意见反馈和教学评价等互动环节课后在数学课程资源平台进行。

（2）教学方法和策略：本次课主体采用讲授法，局部设置小组讨论，同时融入Mathematica软件辅助教学，内容由浅入深、由易到难。具体做法有：对于授课内容中比较繁琐的离散型随机变量的数学期望和方差的计算，在讲清数理的基础上，具体计算在软件上输入命令由计算机完成，这样可以节约有限地课堂教学时间。对于涉及到比较困难的级数求和、广义积分计算，考虑到学生的基础和实际情况，教师在软件上输入命令语句得出部分结果，然后指明处理问题的路径和方法（提供辅助性信息），要求学生课下进行思考消化。数学属于“强度框架”课程，按最近发展区理论（维果茨基）和累积学习理论（加涅），教学实践中需要为学生搭建“脚手架”。此外，针对高职学生自身的优势和不足还需实施情感激励、教学内容结构化和变式训练等教学策略。(www.daowen.com)

（3）学法指导：关于学法，主要向学生强调两点。一是“求和”思想是贯穿本次课教学内容的一条主线。离散型随机变量的数学期望是“求和”，离散型随机变量函数的数学期望是“求和”，连续型随机变量的数学期望、连续型随机变量函数的数学期望形式上都是广义积分，本质是“求和”，随机变量的方差本质上是随机变量函数的数学期望，其实也是“求和”，理解其中的“求和”思想是掌握本次课教学内容的关键。至于求解问题时遇到的无穷级数、广义积分计算问题，只要结合前期所学的知识，温故知新，应该是不难理解的。二是对于数学学习，数学软件只能起到辅助作用。数学概念的理解、数学的基本原理、定理、计算方法和技巧还是要靠同学们自己练习。举个简单的例子，利用Mathematica可以解方程，即使是方程没有精确解，它也能求出近似解（前提是方程有根），但有时对某些特殊的方程却可能产生丢根。比如方程（x2-x-1）x+2=1，用Mathematica解这个方程，输入命令NSolve［（x^2-x-1）^（x+2）-1==0，x｝，可以得到3个根x1=-2，x2=-1，x3=2，实际情况是这个方程还有一个根x4=0。

5.教学过程设计

教学过程流程如表5-1所示。

表5-1　教学过程流程

在以上教学环节中应处理好如下4个“点”。

（1）倦点：本次课“倦点”估计发生在引例中两位射手的射击平均环数和离散程度的计算上，算式冗长、算法仅涉及加、减、乘、除、乘方，对策是输入命令由Mathematica完成。

（2）趣点：本次课“趣点”估计发生在介绍完离散型随机变量的数学期望后给出的“分赌金问题”上，对策是教师介绍数学史上以往数学家围绕着这个问题所做的探索，激发学生学习兴趣。

（3）惧点：本次课“惧点”估计发生在推证正态分布N（μ，σ2）的数学期望和方差分别是μ和σ2这个问题上，对策是教师指明路径和方法，师生一起用Mathematica算出部分结果，学生学习小组合作讨论。

（4）用点：本次课“用点”发生在最后两个应用性例题上，讲完之后教师安排学生完成教材上的某些应用性练习题。

6.教学评价

教学评价强调学生在学习过程中的表现，坚持终结性评价与过程性评价相结合，定性评价与定量评价相结合，学生互评与教师评价相结合。

评价的目的是为了促进，借助课程资源平台，所有过程性评价项目做到公开透明和可视化，赋予各评价项目相应权重实行动态累积，评价项目包括上课率、课堂表现、作业、平时测验、课程网站上的问题讨论、实验报告、问题征解、参加数学建模比赛获奖、发表论文等。

考虑到目前高职学生数学考试不及格率居高不下的实际情况，将学习小组成员互评、同宿舍同学评价、任课教师评价、学生网络互评与学期期末考试成绩一起纳入终结性评价，过程性评价与终结性评价加权平均确定总评成绩。

（二）案例分析与反思

目前高职学生的前期数学基础普遍薄弱，传统的“粉笔+黑板”或多媒体课件的讲授方式教师教得累、多数学生学不会，在数学课程教学资源中加入Mathematica软件包，让它成为教师授课的一个助手、学生学习的一个帮手，会不会增加教学负担，能不能提升教学效果，这是授课教师必须考虑的一个重要问题。

初步的教学实践表明，学生对操作软件辅助学习是有兴趣的，多数同学对操作计算机表现出很强的心理优势，这可能契合了高职学生抽象能力弱而动手能力较强的特点，教学环节的增加减小了教学内容理解上的难度，但却增加了教学时间，教学过程和环节的优化是教学模式需要完善的，这是今后需要改进的一个方面。教学实践表明，原来学生一向对数学不感兴趣的同学其课堂行为开始改变，不再对数学学习充耳不闻，原来在课堂上一直是手机不离手的现象有了很大改观，调动了多数学生的学习热情，课堂气氛一改过去那种沉闷散漫的氛围而变得充满生机活力，这说明这种尝试思路是对的。针对高职数学课课时紧张的实际情况，应积极开展Mathematica软件基本命令的培训，让学生了解这款软件的特点和应用，使它真正成为学生学习的一个帮手。对教学改革的探索是无止境的，只要坚定信心努力探索，高职数学教学一定会走出困境，为培养应用型高级技术人才发挥更大的作用。