“南开模式”给广大高校树立了数学素质教育的榜样，在数学文化教育已经初显成效的基础上，还应该解决以下问题，以进一步推进数学文化教育。

（一）高职数学文化教育如何开展的问题

数学技能训练与数学的培养应紧密结合为一体，一方面，提高学生学习数学的兴趣，另一方面，也能使学生在学习数学技能的过程中，不断加深对数学的理解，提高逻辑思维能力，形成理性思维的习惯。

高职院校数学文化教育中的一个普遍问题是数学文化与数学技能训练脱节。目前，数学文化课或数学素质教育课都是选修课，本质上仍属于“弥补型”课程，通常在学生入学后的一两个学期内开设。当数学文化课引起学生对数学的兴趣和思考时，数学基础课已经完成或即将完成，因此，对学生来说，数学文化课有一种“相见恨晚”的感觉。正如一些学生报告的那样，如果他们早点开始数学文化课，早点理解数学的文化内涵，他们在高等数学方面会做得更好。由于应试教育的大量积累，中小学生主要接受数学技能知识，而很少接触数学文化知识，所以，进入高职教育后，学生对数学文化的理解几乎是空白。这也客观上造成了数学文化培养与技能培养的脱节。

数学文化和数学技能的培养应该相辅相成。一方面，学生对数学文化的理解可以激发他们学习数学的兴趣。另一方面，学生对数学文化的理解也需要一些数学基础。与高中文科分科相比，许多学生在数学技能上存在先天不足，正是因为这个原因，学生在数学文化课中接触到的教学内容，不能与一般数学知识相结合，数学素养课对于数学问题的涉及，也没有更多的理解。这样，数学文化课的许多内容对这些学生来说就变成了纯粹的科普知识。

（二）高职数学文化教育怎样推进的问题

即便“数学文化课”非常成功，这种“弥补型”的数学文化教育依然不是大众所希望的，更不希望把数学文化作为一种新的教学内容推向数学基础教育，而是要把数学的精神、思想、方法等知识通过数学教育显性化。

数学文化的研究过程表明，数学具有应用的教育价值、思维的教育价值和精神的教育价值。因此，一个成功的数学教育还应该体现数学的教育价值，在传授知识的过程中培养思维和综合素质。著名数学教育家弗兰登塔尔指导、推动荷兰实现了从传统数学教育向现实数学教育的改革，他认为，数学教学应讲授从丰富的现实情境中抽象出的数学的发现过程。应该形成一个相对开放的系统，从现实情景（既包括客观的世界和现实的生活，又包括数学现实）出发，把数学知识应用到现实情景中去，让学生随时随地都能感受到数学就在身边。

因此，要解决数学技能和文化脱节的问题，仅仅通过“弥补型”的数学文化课或数学教育课是不够的，而应该把数学文化融入数学教学，使数学文化与数学技能二者紧密融合，相得益彰。一方面提高学生对于数学的学习兴趣，另一方面，也可以使学生数学技能的学习达到一定的深度和广度。让学生在学习数学知识的同时了解什么是数学，数学做了什么，数学在做什么。也就是说，数学教育应当扎根于文化土壤，在文化土壤的滋养下开花结果。

这里所说的数学教育的文化土壤是指数科学的思想、精神和方法。具有数学概念和原理的关于客观事物的数形特征的认知结果，与数学思维方式的知识相比，是一种关于如何解决数学问题，如何获得数学知识和技能，形成学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及创新精神和实践能力的基础。它们以数学知识为载体，标志着数学知识的发生和发展。

学习一本教材，先要把它学“薄”，掌握教材的主旨思想、核心内容，再要把它学“厚”，与相关内容相联系，融入自己的体会，形成知识链条或知识网。同样，数学的学习也应该是这样先“薄”再“厚”。数学思想和方法是人们在解决大量数学问题的过程中对数学的提炼，是数学的精髓，是数学土壤的丰富养料，掌握数学思想和方法是学好数学的关键。但是，从数学发展过程的角度来看，人们从实践经验或研究中遇到的问题，通过分析问题和经验产生解决问题的思路，根据这种思路找到解决问题的方法，经过几次反复最终解决问题，然后在解决问题的过程中提炼出有效的思路和方法，最后总结成教材的逻辑知识体系。教学是在传授数学概念、定理和方法的过程中净化掩盖了数学思想的形成过程，事实表明，让学生从教材中学习，很难理解的数学思想和方法，必须通过适合学生的学习环境包括数学思想和方法的认知平台，让学生通过经验挖掘数学思维，形成自己的知识体系。所以成功的教育不在于向学生灌输多少知识，而在于引导学生掌握多少知识。这种掌握并不意味着所学的数学定义、定理的数量，而是指个人经验与数学经验的结合。在数学学习中，根据已经获得的知识对问题提出的预测能力猜想是非常重要的，在数学教育中应该为学生创造空间，让学生获得有用的知识和解决问题的经验，并引导学生学会用数学思维的方式去理解客观世界，丰富学生的数学文化头脑，培养学生辨别数学的能力。数学教育的基础是让每个学生掌握自己的数学，应用自己的数学。

以前的教学路线是先讲授基本概念和原理，然后在基本概念和原理的基础上发展出具体的理论体系，然后通过一定的具体应用使理论更接近客观实际。而且这种教学路线与数学理论的研究过程严重不一致。科学真理的诞生总是伴随着困难和曲折，但过去教师在课堂上传授这些成果时，往往只谈克服困难后的收获。从长远来看，这会给学生一种错觉，认为知识的获取应该如此顺利，研究的道路应该如此平坦。学生在学习中错过了实践，失去了独立的思维活动，数学学习逐渐僵化，严重影响了学生的数学观念和情感。由于数学教育本身的要求，在教学过程中不可能还原数学研究的真实过程，但应该尽最大努力使学习过程更接近数学研究的真实过程，充分发挥学生的主动性。这种以学生为中心的“研究性教学”模式充分凸显了学生的主体地位，能够加强学生在课堂上的思维参与度。但是由于习惯性的思维方式与以前不同，学生会遇到很多困难，在这里老师的指导非常重要。教师必须认识到认知与实践的功能关系，掌握认知与实践的比例，控制课堂进度，不仅要给学生留出足够的思考空间，还要适时给予启发和指导，指导学生通过自己的努力找到成功之路，构建理论体系。

比如刚刚接触高等数学，学生在很多方面会产生不习惯，如何引导学生打破初等数学思想的限制也是教学中的重点。例如在讲解函数部分时，向学生提问，找到这样一个函数，对有理数取值为1，对无理数取值为0。对于这样的问题，刚刚接触高等数学的学生一般无从下手。经过几分钟的思考后，教师给出答案并对这个函数进行简单的介绍，最后向学生点明，不是所有的函数都有表达式，应当跳出初等数学思想的限制。

新的教学方式可以化解传统教学中的一些负面效应，适度的困难也能够增强学生的参与度，让学生体会到刻苦钻研后收获的乐趣并能极大地加强教学效果。当然，与以往传统的教学方式相比，这样的设计要花费更多的课时。但“磨刀不误砍柴工”，如果融入数学文化的课程教学能够更好地培养学生的数学素养、给学生更多启发，那么牺牲一点单纯讲授技巧的时间也未尝不可。

（三）高职数学文化教育的一些建议

在前文讨论数学推动知识发展时多次提到过数学模型，数学深入渗透到各个学科的研究当中，数学建模作为一种有效的研究工具与手段发挥了很大的作用，建模的过程即是数学思想、精神、方法的深刻体现。数学建模一词使用的时间并不是很长，世界上第一次数学建模竞赛也是1985年才开展的，但数学建模却是与数学一起诞生的。当用数学去解决实际问题就一定要用数学语言、方法去近似地刻画该实际问题，这种刻画的数学表述即为数学模型。数学从幕后走向台前，数学建模功不可没，将抽象的知识以某种方式推向大众也是文化的体现。

近年来，由于各个领域对工作者建模能力的需要，数学建模教育逐渐得到了重视。在建模过程中培养学生的创新意识、思维能力，培养学生良好的数学素养是数学建模教育的主要目标。路易斯安那州立大学一项研究表明，与细菌的生存发展方式类似，学生对知识的探求和接受并非只是个体行为，学生与学生之间形成的交流网络会使学生相互影响、相互促进，对教学效果产生质的影响。数学建模教育形式正是突破了时间和空间的限制，改变“师对生”的传统、单一的教学方式，形成了“师与生”“生与生”新的交流合作模式，弥补传统教学的不足。数学建模竞赛则将各个专业的学生集合在一起，学生们通过交流合作取长补短，极大地拓展了知识面。另外，学生被动的听课、看书、记笔记的方式比较容易形成“假”记忆，并不能真正的学会数学，只有亲自动手才能让学生将间接经验转化为直接经验，真正地学懂数学，这也正迎合了教育领域提出的“做数学”的教学方式。因此，数学建模是符合时代要求的现代教育模式，继续并大力发展数学建模、注重数学建模能力培养是数学文化教育的重要方面。

如何将数学文化融入到数学教学中及讲授数学文化课的方法，南开大学顾沛教授已经成文做了十分详细的介绍。个人认为在数学文化教学中还应注意以下几点。

1.教师要在思想上提高对数学文化的重视

提高对数学思想、精神、方法的重视，充分认识数学的思维及精神的教育价值。

教师是教学思想的根本执行者和教学活动的调节者。各级学校应当采取适当措施，引导、激发和组织一线教师积极参与教育研究，努力强化自身文化，树立正确的教学观，明确教学态度和教学目的，增强专业知识，丰富实践经验，及时反映教学效果，在教学中进行知识教育和素质教育。

2.在教学中尽量为学生创建体验数学经验、挖掘数学思想的平台和空间

引导学生领悟数学本质和理性精神，将数学文化融入数学教学，教师应以学生为教学主体，主动选择启发式教学，控制教学内容和节奏，加强中学生在教学过程中的思维参与，调动学生主动思维的积极性。为此，应该摆脱填鸭式教学和问题海洋式的刺激，拓展研究性教学，从数学学习、数学发展的特点出发，发散学生思维，培养创新意识，充分发挥启发作用，真正建立在学生独立思考和理解的基础上的教学。参考张维忠的基于数学文化的课堂教学基本流程，即“情境导入—获得新知—练习归纳—巩固应用—小结”，贯穿始终的是对学生主体的尊重和对学生经验的开放式接纳。课堂中留给学生充足的机会和时间对新问题进行分析、理解和概括，将新知识转变成具体经验并融入到已有的认知结构当中。如此一来，学生可以在“做数学”的过程中获得属于自身的数学体验，形成完整的数学知识链条，并在交流、研究、合作中取长补短、拓展思路。

3.在教学过程中考虑到学生水平的不同，注意教学方法

发展心理学的研究表明，学生思维的发展呈现出一定的阶段，这是一个组织和重组的过程。经过多年的学习，学生们由于个人能力、习惯、地区教育水平等原因获得了不同的经历。他们从自我认知的角度出发，用自己的思维水平分析问题，对同一问题有不同的理解，得出不完整甚至错误的结论，这是很正常的。教师应了解学生思维发展的阶段，尊重学生现有的认知能力，允许和容忍学生犯错，帮助学生发现错误背后的原因并及时做出反应，引导学生提高认知和思维水平。当然，承认差异并不等于被动接受教学反馈的所有结果，还应该采取适当的方式和方法来激发学生的学习兴趣，提高学生的学习主动性，注重与学生的情感交流，刺激和帮助学生发展到更高的认知水平。教学的过程和真理的诞生，能力的提高也是一个漫长的过程，要帮助学生在错误中找到正确的出路，达到自己的发展水平，千万不要对学生所犯错误全盘否决，这样势必会破坏学生的学习积极性。

4.注意教学资料内容的丰富性(www.daowen.com)

对数学文化的理解不能局限于数学史料。的确，从宏观上观察数学，从历史上考察数学的进步，是揭示数学文化的一个重要途径。然而，数学史料只是数学文化的载体。除了这种宏观的历史考察，还应该有微观的方面，即数学的文化背景应该从具体的数学概念、数学方法和数学思想中揭示出来。根据时间谈论数学家的生活和事件会引起学生的反感。根据学生的认知水平和教学内容的适当介绍，学生应该通过数学家的励志故事和数学史上的重大事件，了解数学理论和思想的发展，把握来之不易的真理，体验数学经验形成的曲折过程。教师不仅要把数学材料作为课堂的补充，还要认识到数学材料能提供更深层次的帮助。数学概念和原理的发展过程以及数学思维活动的形成过程对数学教学具有现实意义。教师可以通过数学史思维发展中比较混乱的学生在学习中可能遇到的困难和有望确定的困难的原因，通过数学家得到的结果和数学思维发展的过程来寻找突破困难的方法，并有针对性地设计教学情境，强化教学重点，帮助学生打开僵局，解决问题。

学科划分后，同一学科有许多不同的专业，同一专业往往有许多不同的方向。在知识爆炸的情况下，专业教师不能掌握学科内的所有知识，学生也不能。然而，有必要了解相关领域的研究进展和重大事件。你不能指望与你在其他领域的专业知识相匹配，但10个相关结果或方法中的一个或多个可能对你的研究有启发和帮助。这些材料的组织对老师和学生都有很大的好处。丰富的材料帮助学生判断自己的兴趣点，同时培养和锻炼他们发现有效信息的能力和视野，从而形成习惯。

5.注意教学方式的多样性

当课程内容非常丰富且难以选择时，可以进行专题讲座，更深入地分析数学思想的根源，加深印象，在课程中不应该结合数学文化的内容是不要求的。此外，还可以设立讨论组、讲座和学期报告，以激发学生的积极性，提高他们的参与度。但是，应该注意的是，数学文化和数学知识的教学地位不应该颠倒。尝试从具体问题入手，引导学生从具体问题中获得经验，拉近学生与数学的距离。

6.注重数学文化教育的师资队伍建设

教学改革的关键是教学思想和教学方式的改革，而教师是教学活动的第一执行者。在诸多的制约因素中，教师方面的影响是最大的。要成为一名合格的数学教师，需要具备的条件是多方面的，其中最主要也是必不可少的有三条。一是必须具备扎实深厚的数学功底，不光对所要讲授的知识一清二楚、运用自如，还要明确知识点的来龙去脉，准确把握各个知识点的地位、作用及衔接关系。二是必须掌握教学方法与技巧，能够了解学生心理，在“教”与“学”的双边互动中采用恰当的手段掌控课堂教学，激发学生的学习欲望和兴趣，引导学生自主学习；三是应当热爱教学工作，有事业心，有责任感，自觉主动更新所学，将满足学生需求视为己任。

要解决高职数学教育相对不足的教师问题，一方面需要加强对数学文化教育重要性的认识，另一方面，也应采取适当措施，鼓励那些数学专业知识扎实且具有良好人文素养的教师，尤其是从事数学文化教学和研究工作的青年教师。此外，教师的评价机制要更新，应该告别传统，以学生成就论的形式，以学生的发展成败为中心，加强纵向比较，增强教师的认同感，激发教师的主动性和积极性，如在科研任务、职称等方面给予适当倾斜，以充分调动教师的工作积极性。一支强大的教师队伍无疑会使数学文化教学实践事半功倍。

7.加强融入数学文化的新高职数学教材建设

目前的数学文化课教材基本分为两种情况。一种是将相关数学史料、数学文化内容以“小贴士”“附注”等形式编写的数学教材。对于这种教材，由于教师们多年的教学经验已经形成一种惯性，他们不习惯也不愿意花费更多的时间去查询研究详细的史料，思考怎样将数学文化内容融入教学；另一方面由于现行的教学评价依然是针对数学技能进行的，教师更不愿意浪费精力去做这种吃力不讨好的工作。另一种是以数学史、数学文化内容为主线的文化教科书。这本教材是选修课的教材较多，因为班级的学生来自各种专业，数学基础参差不齐，为了照顾大多数学生的水平，教材内容一般不涉及很多数学知识，而是以简单的数学知识为基础的教学内容既照顾了学生的口味，但又对学生的素养没有太大的影响，特别是对于数学专业来说，这种教材更像是课外读物。

数学在本质上是人的综合素质体现，以提高学生数学素养为目的数学文化课，所涉及的知识相当广泛，从目前高职院校数学学科的具体情况认识来看，基本上是各个学校的课程内容不同，有些学校的教学内容侧重于数学史，有些学校的教学内容更注重逻辑思维和审美意识及能力的培养。数学文化教学内容的差异在一定程度上反映了教师对数学和数学文化的理解，也反映了教师自身的知识结构。毫无疑问，每所学校在数学文化课程的教学内容上都有自己的特色，这有利于数学文化课程的建设。但同时，也应该看到，作为一门课程，数学文化也应该有自己的特点，哪些知识是提高学生数学素养所必需的，哪些知识应该属于数学文化的基本教学内容，应该有一个普遍的共识。从这个意义上说，拥有一部内容丰富、体系规范、在学术界得到高度认可的教科书是绝对必要的。这也是高职院校普及数学文化课程的必要条件。

目前，我国高职院校的数学教学，无论是数学专业还是文、理科的数学教学，都有全国统编教材，但却没有与之相配套的数学文化课教材。由于教材建设的相对滞后，使得数学文化教学在内容上很难与数学教学相匹配，这样，数学文化教育便不能起到帮助学生加深对数学的认识和理解的作用。同样，由于没有数学教学内容的配合，学生对于数学文化的理解也无法深入。为了避免数学文化教育成为单纯的科普知识，加强数学文化教育的规范性，提高数学文化教育的质量，应该尽早编写高质量的数学文化课教材。至于通过什么方式实现教材的编写，则是有待于进一步探讨的问题。

8.推动课程评价机制改革

尽管教育部已经将“数学文化”列入教学要求，提倡数学课程体现数学的人文价值，但教学中的实践并不理想。除了前文提到的几个原因，陈旧的评价机制也是制约因素，这是由我国目前的教育体制决定的。

考试、分数和排名是最常见的评价机制，它自科举制度以来已有一千多年的历史。根据课堂教学知识点和技能设计试题，根据学生在有限的时间内完成评价的程度打分，每门学科的分数经过学生的积累形成横向比较。显然，这种传统的评价机制只强调部分和结果，而忽视了学生的学习过程和综合能力。学习应该是有趣的，但它充满了痛苦。再加上一系列与表演相关的奖项和收视率，考场成了一个没有硝烟、充满竞争的战场。这种评价模式不仅伤害了学生的感情，也制约了他们的个性发展，不适应素质教育的需要。如今，许多高职院校在努力吸引海外人才或要求他们的从业者拥有海外经验，这使得出国留学热异常火爆。由此可见，评价机制对教学目标具有很强的导向作用。

虽然近年来教育评价系统在不断地进行改革，试卷中加大了主观题的比例，还增加了供学生发挥的附加题，考评内容中添加了“平时成绩”，禁止给学生排名次进行横向比较等，但是都不能从根本上摆脱“应试教育”的阴影，因为升学最终还是要靠考试选拔。

20世纪80年代，国际数学教育学会以“大众数学”为题开展了系列讨论，并发表了名为《Mathematics for All》报告集，“大众数学”的口号迅速传播并形成了全球性的运动，对各国的数学教育改革都产生了实质性的影响。“大众数学”思想倡导人人都学数学，人人都学有用的数学，根据个体差异学不同的数学，使数学告别“精英”时代，成为大众文化的一部分。我国2001年颁布的《义务教育阶段国家数学课程标准》基本理念强调“义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”就是这个宗旨。根据这一宗旨，数学教育评价要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的能力、态度。

根据美国鲍德里奇国家质量计划《教育类卓越绩效准则》，以学习为中心的教育卓越绩效应当包括重视主动学习，采用广泛的技巧、材料和体验来促进学生的兴趣；在学习过程中采用进程评价来对学习进行衡量；协助学生和家庭采用自我评价来跟踪进展情况，明确目标和差距；数学学习评价也应当关注这几个方面，加强对学生数学文化素养的培养和考察。

在数学学习评价过程中，填空和选择题等客观问题可以通过结果来检验学生对数学知识的掌握程度，而小问题则只能寻求结果，而不管获得结果的方法如何。有些学生甚至通过推理和直觉得到答案，所以它不能真正反映他们对数学知识的掌握。许多学生能够准确地陈述一个概念，其结果与从显式行为中看到的一样。但是，通过进一步的考察可以看出，有些学生只能用语言来表达概念，有些学生可以用概念来解释课本中的例子，有些学生可以解释变化后的情况，有些学生可以揭示不同情况的内在一致性。所以客观的问题并不是真正的“客观”。而主观题是评价数学技能，可以在解题过程中完全区别机械记忆和理解记忆，判断学生数学技能的应用，全面了解学生对某些知识的理解和掌握程度，考查学生记忆知识、组织、材料、分析和解决问题、结论的综合能力。组织社会实践活动，带领学生参观考察，并安排相关的造型主题，让学生互相配合，充分发挥。本研究不仅拉近了数学与生活的距离，而且考察了学生的创新意识和思维能力。通过适当的问卷调查、访谈和家访，关注学生对数学学习的兴趣和态度，从而了解数学学习的主动性和进步性，灵活应对学生的变化。此外，学生还可以组织自己的数学演讲材料，以数学作文作为一种评价形式，学生在选材和起草的过程中加深了对数学文化的理解。教师、学生和家长可以通过综合各种评价方法，从数学学习的过程记录中获得一些东西。总之，评价的方式可以尽可能的多样化，甚至淡化，重要的是学生的学习过程和学习经验。

9.整合的理念开展通识教育

长期以来，人们一致认为数学是现代科学技术的基本语言和必要工具，良好的数学教育不仅能培养人的知识和能力，还能给受教育者留下科学的逻辑思维能力和基本的数学素养，使他们终身受益。在知识能力之外培养素养的理念与通识教育的理念相近。通识教育始于西方，旨在给学生提供所有学科的准确、全面的知识，填补学科教育的盲点，成为一种非专业的教育。当然，不提倡捆绑式的普通教育，因为人的记忆能力是有限的，容易遗忘前面学习的知识点是存在的，贪多嚼不烂，所有的学习等于所有的不学习。然而，通识教育的理念是普遍提倡培养受过教育的人，他们有远见和能力有效地整合和整合他们的知识和技术，以实现突破和创新。

有名的发明激光照排技术的王选教授就是文化整合的很好例子。他是数学科班出身，精通计算机技术，除了是科学家，还是戏曲家、收藏家，通识文理工，对中国传统文化有感情、有热情，因此知道他的技术怎么用最好，怎么用最有效。他常告诫青年人成功需要长时间的积累和好的洞察力，不要急于满口袋，而要先满脑袋。追求卓越，成功自然跟随在身边。他成为“当代毕昇”不是偶然也不是机遇，而是由自身的素养结构决定的，即使他没有发明激光照排技术，也一定会在其他方面有所建树。如同知道的一些伟大的科学家，除了在自己的领域里成绩辉煌，通常还是其他领域的能人甚至专家。所以文化是一种积累、一种底蕴、一种眼光、一种能力，只有有文化才能创新，相反只能踩着前人的脚印，做一些技术上的改进，而非全方面的突破。

尽管近年国内教育已经注意到分科教育的缺陷，并大力提倡通过通识教育填补盲区，培养复合型人才，但拼配并非整合，收效甚微，专业人才少，复合人才更少。实施跨学科的通识教育基础薄、难度大、收效微，应当先从学科内入手，逐步整合渗透。此种意义下的数学文化课就是较为适合的学科内通识教之扩张。

抽象性是数学最重要和最显著的特征之一。由于数学的抽象性和实践中许多应用的间接性，在普通人的眼里，数学和实践之间的密切关系是很难理解的。然而，迫切需要加强数学教学与实践的联系，增强数学应用意识。因此，必须认识到，加强数学教学的应用不是削弱数学的抽象性，而是要注重文化属性，让学生通过体验数学在解决实际问题中的应用，逐步形成数学应用意识，进而激发他们的学习兴趣，加强数学与实际应用的联系，提高他们的实践能力。

尽管不能期待将所有的学生培养成为能够为人类社会进步作出卓越贡献的明星人物，但可以期待所有的学生能够找到自己的位置并在自己的领域里学有所用。

技术培养利在一时，文化培养功在千秋，基础雄厚，选择才更多。应当帮助学生既有自己的专业，又具备超越专业看问题的视野。鲁迅在《未有天才之前》的著名演讲里反复重申泥土比天才更可贵，数学教学也应当注重文化，成为培养人才的土壤，为学生搭建教育平台，有意识地引导学生打好基础，积累文化底蕴。