在培养和发展学生的数学建模核心素质的过程中，应该有一个阶段，在这个阶段里，教师不是事先告诉学生该做什么，而是让他们自己去解决问题。通过学生自己的分析，列出方程式，最后找到解决方案，然后验证并复习解决方案，看看它是否符合问题以及是否可以应用。李尚志称这一过程为数学建模。数学建模这一过程可以如图2-15所示。

图2-15　数学建模结构图

对高职学生数学建模核心素养的培养，要求教师在教学过程中更多地引入日常生活素材，引导学生利用已知数学知识，去解决生活中的实际问题，充分认识到数学知识在日常生活中的作用。当然一些数学应用和数学建模问题的插入，能更好地提高学生数学应用意识和数学建模能力的培养。

（一）立足教材内容，体现专业特点

在进行高职学生数学应用意识和数学建模能力培养时，不能完全脱离教材内容而存在，必须要体现数学学科的专业特点。这是因为对于高职学生来说，数学应用问题和数学建模问题的学习难度较大，很容易引起学生的畏难情绪，面对这些问题，他们缺乏足够的自信，无法以良好的心态进入数学应用问题和数学建模问题的学习。为了提高学生的学习自信，教师应以教材内容为载体，从基础的数学知识出发，在结合实际问题对数学内容进行科学加工、处理以及再创造，逐步引导学生，进入数学应用问题和数学建模问题的学习行列，达到在学中用，在用中学的良好效果。主要方法有：立足教材内容，适当补充拓展；做好复习总结，掌握基本类型；提炼建模方法，形成解题能力；重视阅读理解，强化应用训练。

除了上述四个方法以外，数学教师还应以数学教学为专业服务的理念为指导，综合考虑学生相关专业背景以及专业所需知识与技能，针对不同专业的学生，总结数学应用的差异性，找寻数学知识与学生专业相结合的渠道，开展与专业结合的数学模型与数学应用教学，让学生在掌握知识培养能力的同时，进一步体会到数学应用的价值，更利于学生解决生活实际问题。

案例1：逻辑代数初步

问题：事件S、D的发生取决于A、B、C三个条件。只有当A成立时，S、D才有可能发生。此外S发生需要B不成立且C成立，D发生需要B或C成立，请表示出S、D的逻辑表达式。

分析：案例1教师以机电工具作为背景导入，改变了传统的仅依靠图形展示的方式，除了吸引学生的注意力以外，更可以激发学生的学习认同感，这部分内容在专业学习和应用上会有所帮助。

从案例1的问题语言表述来看，是比较复杂抽象的，当然通过逐句分析也能找到解决问题的方法。这时教师应当引导学生，在原有知识基础上加强，加上对问题的具体分析，建立相应的电路图模型，如图2-16所示，这一点对于电子专业学生来说难度不大。学生很容易结合图形，利用逻辑关系得出结果：S=A··C，D=A·B+A·C。这样做既在解题上起到事半功倍的效果，还培养了专业背景下的学生数学应用意识和建模能力。

图2-16　电路示意图

（二）创设问题情境，激发探究热情

爱因斯坦说过：“兴趣是最好的教师。”这表示当学生对一个事物或一个问题产生了浓厚的兴趣时，就能启发他们主动去求知、探索、实践，并在这一过程中产生愉快的情绪与体验，达到良好的求知效果。在教学中也应当注重对学生兴趣的激发，才能点燃他们的探究热情，而兴趣的产生立足于需求基础上，在人的实践活动中逐步形成与发展。只有当学生在数学课堂中觉得该内容是所需要的，就会产生强烈的学习愿望，积极主动地参与到学习过程中，自然而然会使学生的成绩提高和素养水平提高。因此在开展高职学生数学应用意识和数学建模能力培养时，教师要结合教材内容设计是恰当的问题情境作为学习背景材料，所谓的问题情境指的是问题的条件，能够为结论提供信息，是具有目的属性的信息，除了能够阐明数学来源于生产、生活实际以外，还能点燃学生的思维火花，让他们在整堂数学课都处于求知状态下，高度集中注意力与学生教师进行合作交流，让整个数学课堂氛围更加融洽。要想创设出问题情境，真正吸引学生注意，就需要教师去深入钻研教材文献资料，以及学会从身边的生活实际中发现有趣的背景材料，并逐步引入到课堂中为数学建模问题的教学奠定基础。当然在高职数学教学中关于问题情境的设置需要体现一定的原则。

第一，设置的问题情境应具有年龄阶段性。这是因为不同学段能够接受的问题情境不同，因此在设置时应该有所不同。但整体来说，高职数学教学中的问题情境设置既要贴近生活，又要贴近已有的数学知识和相关的学科知识，同时还要兼顾问题情境的生活化与数学化。以数学教科书中的问题为基础进行情境创设，则更应注重一些高阶能力的发展，才能强化对学生创新意识、探究能力的培养，也是高职数学情境创设的重要核心。

第二，设置的问题情境应具有可读性。一般来说在进行数学教科书编写时，会充分考虑学生的阅读能力，即考虑数学教科书对于学习者而言的可读性，尽可能用学生能懂的语言进行编写，保证语言的生动活泼性，以便符合学习者的阅读习惯，避免成人化倾向。因此高职数学教科书的一项重要原则即为其情境语言的通俗易懂，测试题中用于描述问题情境的语言应该是易于阅读的，语言的可读性不应该成为影响学生理解问题的因素。情境对于学生而言应该是可理解的，这也是可读性的一种表现形式。

第三，设置的问题情境应具有趣味性。所谓的趣味性原则，是指情境的材料能够引起学生的兴趣，对于提高数学课堂效益，提高基础教育阶段的学生素质意义重大。通过情境问题引起学生的认知冲突，激发学习者的求知欲，使学习者进入主动的“思维场”，这些过程与举措将有效地提升与触发学习者的学习兴趣。问题情境的趣味性是教师认可的情境的第一要素。

第四，设置的问题情境应具有现实性。让学习者感受到数学来自于现实世界，也可以应用数学解决现实问题。现实的、与学生生活经验相吻合的情境才更易激发学生的学习兴趣。这与谭景凤等人指出的问题情境应具有的内在逻辑性是相符的。对于情境的现实性，并非仅指情境来自于现实生活，还应关注学习者的生活环境。对于学生没有接触过的事物或是存在差异的地域性认知，都会影响学生的认知与理解，因此在设置问题情境时要尽可能与大多数学习者的生活经历一致，才能使学生能够在现实生活情境中学习数学知识与技能，分析与解决数学问题。

第五，设置的问题情境应具有时代性。当今教材改革的主要任务之一是素材更新，为适应信息时代的要求，必须利用反映时代气息的现实素材为学习者创设学习情境。而这种时代性的目的之一，在于为了让学生感受到数学与其亲身经历的现实世界的联系，感受到数学的应用价值。传统的经典教学内容也要注重现实素材的使用，以反映这些教学内容在时代发展变革中的应用价值。

第六，设置的问题情境应具有整体性。考虑到教科书的整体编排，数学教科书应注意各类情境在整本教科书中的比例，提升情境在章节中的作用。情境应具有发展性原则，即指所创设情境能够作用于整个大节（或全章）。这种从教科书的整体设计进行考虑的问题情境设计原则，还应包括处理好不同情境类型的比例，以及避免相同类型情境的高重复率。

第七，设置的问题情境应具有适度真实性。真实情境中蕴含的问题是真实的、复杂的，对学生而言更容易记忆，更具参与性，能够使学生自然而然地发现数学问题与现实生活之间的联系。当然情境的真实性应该是有限度的，不应一味追求真实的情境。即在数学教育过程中，一方面要求数学教学与真实的实际上生活相吻合，即求实性；另一方面，一些创设的数学情境又是允许虚构的，即可虚性。关于情境创设的“实”与“虚”，如果情境的创设目的在于培养学生的建模能力，那么适度的虚拟情境是可行的，但如果情境创设的目的在于解决真实问题，则应该对应真实数据。情境的创设应注意人文教育目的，一些真实的情境不应该随意改编，如北京奥运会我国的金牌数等；不应该排斥虚拟的情境。另外应该，关注虚拟情境与现实情境的合理运用。除此之外，过度地寻求情境的真实性，还会影响教学效率，过多地外在认知负荷有可能影响教学目标的达成。

第八，设置的问题情境应具有数学关联性。数学课程中的问题情境研究，应处理好生活化、情境化与数学系统性之间的关系。即是说，需要通过情境引发、促进、辅助学习者对于数学的思考。能够引发学生数学思考的问题情境，也被一些学者称为有意义的情境，应注意防止“生活味”完全取代数学教学中的“数学味”。有学者认为数学教科书中的情境对于问题解决的作用，即情境的数学关联性、将影响到学生数学学习机会的获得，因此要加强数学关联性思考。

如指数函数的概念可从“细胞分裂”“病毒传播”的模型导入；对数函数的概念可从“复利问题”模型引入；教函数最值时，引入最大利益问题；教等差、等比数列时，引用银行的存款、借贷与投资收益问题等等，都能最大化激发学生的学习兴趣和探究热情。

1.以数学史或数学故事为情境

数学是人类文化的一部分，它以数学的历史为载体，突出了数学文化教学的重要性，将数学史整合到数学教学中引起了越来越多的数学教育从业者和研究者的关注。数学史是数学的产生和发展历史，它蕴含着丰富的数学史料，在促进数学教育的改革和发展中起着非常重要的作用。在高职数学教学中引入数学史，不是简单地讲故事、说材料，而是始终坚持科学性、准确性、可用性、适宜性、趣味性和多维性的原则，灵活运用数学史知识开展教学活动，用来启发学生思维，让学生充分理解知识的根源和本质，开阔学生视野，提供思维技能，让学生从被动无助变为主动，让学生更容易学习数学。

众所周知，学生学习效果的好坏大多与学生的兴趣和态度有关，二者相辅相成，兴趣决定态度，端正的态度影响兴趣。因此，在高职数学教学中融入数学史知识这一概念的由来是为了激发学生的兴趣，通过讲故事来说明做事的态度，从而真正使学生爱上数学，端正学习态度，将素质教育付诸实践，符合新课程的教学理念。同时，思维的培养也是高职数学教学中不可缺少的重要内容之一。数学史的整合可以帮助学生理解数学中的定义、定理、公理、结论等知识是在大量的社会生活实践中发现和形成的，并理解其意义。然后将这些理论应用到一般的数学问题上，这种方式让学生不再刻板地学习数学，而是真正感受到活生生的数学，让学生充分理解数学知识的发展规律，学习正确的数学思维方式，真正理解过去、现在、预测未来，促进一般结论应用到具体问题这种思维方式的形成。

高职数学教师也可以以数学史为主题开展研究性学习，让学生感受到数学是生活中的数学，生活也是数学中的生活，真正实现数学与现实生活的完美结合，即数学源于生活，生活中有一个硬道理。只要学生能提供丰富的数学史数据和正确的思维方式，学生就能产生持久的学习动机和实验研究习惯。经过长期的思考和探索，不仅可以养成研究性学习的习惯，培养创新思维，还可以发现所学知识的漏洞，明确努力的方向，并不断探索和发现。当然，学生对数学的兴趣发展到足够的开放学习空间，对于改进数学教学和促进课程发展有着重大的帮助，有助于促进学校教育教学质量的提高，提高数学课堂教学效率，有利于促进学生的全面发展，促进整个高职数学教学的发展和进步。

对学生来说，数学学习不仅是知识的学习和能力的提高，而且是一个观点、态度、信念等的形成过程，后者会对他们的数学学习乃至整个人生产生重大影响，利用数学史可以激发他们的学习兴趣，培养他们的数学精神，激发他们的人格成长和建立信心，预测他们的认知发展，促进他们对数学和数学价值的理解。因此，数学教师应该对数学有深刻的科学认识，树立正确的数学观和数学教育观。数学史本身是一门跨学科的科学，它研究数学的起源，发展和揭示数学与政治、经济和文化的关系。揭示数学的本质和回答关于数学是什么的问题是极其重要的。数学史的引入可以引导和丰富教师的课堂教学，跟踪学生和教师的认知发展，丰富教育内容，提高对数学知识的理解，搭建数学与人文之间的桥梁。帮助数学教师积累更多的数学史作为重要的教材，实现知识范围和视野的拓展。至于教材，教科书中介绍的大部分知识都是冷知识。数学史的渗透可以增加恢复数学知识生成和发展的过程，使数学史和数学知识更能互补，成为数学课堂教学的重要补充。(www.daowen.com)

因此，在高职数学课堂教学中，以数学史或与生成历史问题相关的数学故事为背景，不仅可以激发学生的学习兴趣和动机，还可以培养他们的数学能力，尤其是建模能力，这有助于增强他们的应用意识，提高他们的文化素养。进入数学史课堂，当然必须明确，不能因为学生对历史人物相关的故事感兴趣而占用课堂大部分时间，让学生认识到历史数据只是为了更好地理解和学习高职数学课程，教师应该把握数学课堂的主导方向，才能在引入数学史时真正做到收放自如。

以对数的生成为例，采用了逐步融入数学史的教学方法。目前教科书中所提出的对数定义，是由欧拉在18世纪提出的，是通过指数的定义而引入的对数定义，相对来说比较抽象，难以给学生带来新的启蒙。当然，关于借助对数定义也无法知晓其计算方式及过程，难以让学生掌握这种计算技巧。但如果在进行对数教学时，巧妙地融入数学史，让学生更加全面深入地了解对数的产生背景和历史，就会发现对数定义并不是教材中所说的借由指数出现的。通过这种数学史融合的方法能让学生对对数的概念有更深的认知。

除了数学史的引入外，在进行模型建设时还可以融入相关的数学故事，具体如案例2中的概率应用题。

案例2：概率应用题

教师采用历史上田忌赛马的故事：设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a、b、c，6匹马的奔跑速度，由快到慢的顺序依次为：A、a、B、b、C、c。两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜。①如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；②颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马，那么田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？

分析：背景是一样的，只是问题变了，结果变了吗？这样大大激发了学生的兴趣，认真思考，热烈讨论，问题很快得到解决，学生也自己总结了，教学效果很好。一个熟悉的典故极大地激发了学生的学习热情，使他们不仅学习知识，而且在轻松愉快的环境中培养他们的应用意识。

案例3：数列极限

教师引入历史上著名的芝诺悖论：阿基里斯是古希腊神话里的长跑健将，假设阿基里斯和乌龟相距一个单位长，乌龟速度为1，阿基里斯的速度是乌龟的2倍，则阿基里斯永远也追不上乌龟。其理由是：当阿基里斯追到乌龟的第一个出发点时，乌龟向前爬行了；当阿基里斯追到乌龟的第二个起点时，乌龟又爬行了，…，如此下去，直至无穷。问这种推理是否正确，为什么？用数学的观点加以解释。

分析：此为悖论，学生很容易做出判断。在学生做出判断后，教师可以先让学生思考此悖论的破解之法，学生一定是热情高涨、积极思考、众说纷纭，但是思路说明基本围绕这一推理与常识不符；然后教师给出提示：考虑一下阿基里斯的追逐时间是否无止境？经分析得出，阿基里斯追逐乌龟的时间时；接着，教师追问下去：问题又来了，这无穷个数相加有没有和？学生茫然或是回答“无穷大”。这时教师给出庄子的解释：一尺之锤，日取其半，万世不竭，将庄子分割的锤再粘合起来，即其结果仍应是一尺，从而得证，顺势引出数列极限的概念和求法。这一过程会让学生充分感受到数学建模的魅力，从而激发他们在建模的道路上继续探索前行。

2.以生活实际为情境

荷兰教育家弗赖登塔尔认为：“数学来源于生活，存在于现实，并且应用于生活，教学过程是帮助学生把现实生活问题转化为数学问题的过程。”这是对数学生活的精彩描述。因此，在教学中，教师应该从学生的生活体验出发，联系生活现实，把生活体验转化为数学，把数学问题转化为生活，让学生认识到数学就在身边，感受数学的兴趣和应用，体验数学的独特魅力。

3.给理论构造现实背景

数学结论包括一些公式和定理，这些公式和定理往往非常抽象，使许多学生感到难以理解，特别是对于高职学生。因此，在教学过程中，教师需要探索抽象结论与现实背景之间的联系，为学生提供分析、评价和解释某一数学结论的机会。这种在现实环境中反映出来的抽象的数学结论比通过强化记忆和重复练习来培养智力和能力要好得多。

案例4：已知a，b，m均为正实数，且a＜b，求证：。

分析：这是一个不难的不等式问题，如果可能的话，应对当前的情况，也可以引导学生用各种方法证明，以此来培养学生的分析能力和逻辑推理能力，但对于学习积极性不高的高职学生来说，这种纯粹的事物理论不仅显得过于单调，也难以让学生体会到它的目的与用途。为了强调其在现实生活中的应用，教师不妨利用这样的建模材料中加以说明：在含a克糖的b克糖水中再加糖m克，糖水会变得更甜（因为加糖后的浓度大于加糖前的浓度），这样就让一个抽象的结论以鲜活的例证表现出来，抽象的东西也会变得具体、生动且充满活力。这样一来，学生不但对相关结论记忆深刻，而且提升了应用意识和建模能力。

（三）营造开放空间，促进主动学习

从现代教学理论的角度来看，数学教学过程不仅是学生对数、形状及其空间结构的认知过程、智力发展过程、教师指导下的知识再创造过程，也是学生主动学习、创新精神和实践能力得到培养和提高的过程。随着知识的快速增长和教学方法的现代化，学生仅靠记忆和机械知识已经不能适应时代的需要。高职学生由于自身主动学习意识不强，主动性差。这就要求数学教学必须给学生积极的思维，开放的探索空间，有意识地促进学生主动学习，从而促进学生数学应用意识和建模能力的培养和提高。其中，实施小组合作学习策略是促进学生主动学习的有效途径之一。

小组合作学习是指为完成教师分配的教学任务而对学生进行明确分工的相互学习。在小组合作学习中重点强调团队成员间的相互尊重、信任、沟通和合作，并积极完成团队合作中的各项任务。作为整个课堂教学活动的组织者、指导者和推动者，教师应根据教学内容为每个学生精心设计不同的教学任务，并善于观察学生合作的需要。总之，应该激发学生的学习兴趣和学习热情，从而产生合作学习的冲动和意愿。为了防止教学班级形式化，每个人在合作学习过程中都应坚持独立思考，不盲目跟风，以免造成出现个别优秀学生一枝独秀的情况。只有每个学生都激发了独立思考和探索的热情，合作团队的集体智慧才能得到充分展示。同时讨论要有序，平时可以加强对小组成员的观察，选择一些好的领导者，可以在课堂教学中使用轮换制，推举合适的团队成员进行讨论发言，或是通过相关培训，让他们纠正自己的错误看法，并确认自己在小组合作学习集体中的价值，在学习中形成平等良好的互动关系。

教师还必须给学生足够的时间和空间来进行讨论和交流，以便在课堂上发挥每个学生的智慧，提高小组学习的有效性。同时，要坚持在课堂教学中优先考虑以鼓励的方式调动学生的学习参与积极性，通过语言赞美、肯定的眼神和默认的微笑，让学生充分体验合作学习带来的幸福和成功，从而产生进一步追求合作的愿望。

当然，评估是小组合作学习中必不可少的重要环节。通过建立科学的评价机制，并结合各种评价形式，可以进一步保证评价的科学、全面和准确。从评估内容的角度来看，有过程评估和结果评估。在教学中，主要使用过程评估，侧重评估小组合作的程度，学生在小组合作学习中的表现和参与程度。从评估表来看，有自我评估和其他评估、学生评估和教师评估、个人评估和小组评估、小组评估和小组间评估。在实际教学过程中，应根据实际情况选择科学的评价方法，对小组合作学习进行有效的评价，为以后小组合作学习的开展提供保障。

在高职数学的应用意识和数学建模能力的培养中，实施小组合作学习，强化学生的动手实践，让学生在课堂上自主探索，活跃课堂气氛，大大改变了学生单调的学习方式，使学生具有独立意识、探索意识和合作意识，有助于进一步增强创新意识，从而促进学生的全面发展。

（四）突出学生主体，倡导合作交流

数学应用和数学建模教学有利于开展探索性研究和课堂活动，为师生突破传统的课堂教学方法提供了很好的突破口，实现了课堂教学从教学型向学习型的转变，让课堂教学的主要活动不再是教师的教学，而是学生的自学、讨论和调查。学生是教学活动的主导者，因此，他们应积极参与教学活动，并尽力显示他们在探索、发现问题、解决问题的深度和方式方面的主要作用。教师是学生的学习辅助者，必须引导学生实现学科价值，他们的领导作用体现在设置适当的问题并及时分配问题，以激发学生独立探索和解决问题的热情和创造力。教师在数学课堂教学中能否很好地发挥作用，是决定课堂效果的关键，也是培养学生的核心数学素质（包括应用意识和建模能力）的关键。

随着数学应用和数学建模的不断深入，对知识储备和能力的要求也越来越高。由于高职院校的学生独立解决问题的能力较弱，加上课堂教学时间紧，任务繁重，学生必须共同努力才能取得预期的效果。作为教师，一方面，应该组织和指导学生在课堂教学中讨论问题和交换意见，以发现问题，获得解决方案。另一方面，可以采用任务分组来鼓励学生加强合作。由于每个学生的成长环境、爱好、专业、知识和能力都不一样，因此要求学生在完成任务的过程中要始终坚持互相学习和合作。例如，具有较强理解能力的学生可以帮助实现从实际问题到数学问题的转变；经常上网的学生善于搜索和收集信息；具有计算机专业知识的学生可以在数据分析和处理中发挥作用；具有良好数学基础的学生可以证明他们解决数学模型的能力；具有深厚文学才能的学生可以在撰写小型论文时展示他们的技能；有才华的学生可以在展示研究成果时贡献自己的力量。总之，在提高数学应用意识和建模能力时，合作意识和合作能力是必不可少的。

（五）开展实验教学，提高实践能力

数学建模和数学应用教学，其目的是培养和提高学生的应用能力。对于高职学生来说，这种应用能力不仅要停留在理论阶段，还要体现在以后的生产实践中。因此，教师应在教学中开展更多的实验教学，给学生创造动手操作和亲身体验的机会，从而强化学生实践应用意识和能力的培养与锻炼。

其中，最重要的是问题解决技能的培养，这是一种全面、综合技能，涉及观察、分析、综合、类比等多个环节，借助“数学模型”这一重要载体，能让学生亲身经历一个完整的问题解决过程。尽管数学模型是加强学生问题解决技能培养的重要途径，但这绝不是一蹴而就的事情。尤其是高职院校学生的数学基础相对薄弱，将过于复杂的数学模型放在课堂上进行讨论研究会大大降低教学效果，不利于学生问题解决技能的培养。因此高职院校教师必须结合学生实际水平，设置相对不是很完整、相对简单的数学模型（或是称作“数学案例”更加准确）展开教学。无论是复杂的数学模型，还是简单的数学案例，都必须将数学建模意识融入教学过程，尊重学生的主体地位，积极引导学生运用数学思维去发现问题、探求问题解决的方法，培养学生的思维能力、分析问题的能力以及解决问题的能力，帮助学生养成数学建模意识。

数学实验是指以学生动手为主，在教师的指导下利用有关工具，借助观察、模仿、操作、猜想，对数学知识和问题进行分析、发现、应用的一种过程。显然，数学实验是数学知识应用的一种形式，在第一章中有关于实验教学的实例分析，这里不再赘述。