视频15：最佳　平方逼近多项式

则称{　fn（x）}是在[a，b]上的带权正交多项式函数系。

下面讨论怎样求S∗（x）。由3.2.1节可知，该问题等价于求多元函数极值问题。即求

的最小值。由于I（a0，a1，…，an）是关于a0，a1，…，an的函数，若多元函数存在极值，利用多元函数存在极值的必要条件为

则有

这是关于a0，a1，…，an的一个线性方程组。求解此方程组，即可得到需要的函数S∗（x）。

定理3.2　连续函数φ0（x），φ1（x），…，φn（x）在[a，b]上线性无关的充要条件是它们对应的克莱姆（Gramer）行列式不为0，即

证明过程如下：

设k0，k1，…，kn是一组实数，使

分别用ρ（x）φ0（x），ρ（x）φ1（x），…，ρ（x）φn（x）[ρ（x）为权函数]乘以上式，然后在[a，b]上积分，得方程组(www.daowen.com)

根据克莱姆法则，上述方程组只有零解的充要条件是系数行列式不为0，即Gn≠0。证毕。

S∗（x）是f（x）在φ中的最佳平方逼近函数。

若令δ（x）=f（x）-S∗（x）为最佳平方逼近的误差，则平方误差为

如果取φk（x）=xk，权函数ρ（x）≡1，为函数f（x）∈C[0，1]在φ中寻找n次最佳平方逼近多项式，即

此时，有

若用G表示行列式Gn=G（1，x，x2，…，xn）对应的系数矩阵，则有

G称为希尔伯特（Hilbert）矩阵，记

则方程Ga=b的解ak=a∗k（其中k=0，1，…，n）即为所求。

一般情况下，用幂函数作基求最佳平方逼近多项式，当n取的较大时，系数矩阵式（3.3.19）是病态的矩阵，会造成计算过程中的舍入误差很大。这时，可以采用正交多项式函数系作基求最小平方逼近多项式来避免这一问题（本书不作讨论）。