定义2.4　在区间[a，b]上选取（n+1）个节点a=x0＜x1＜x2…＜xn=b，并且函数y=f（x）在各个节点处的函数值表示为yi=f（xi）（i=0，1，…，n），作函数S（x），若S（x）满足以下条件：

（1）在各节点处S（xi）=yi，i=0，1，…，n；

（2）在区间[a，b]上，函数S（x）具有连续的二阶导数；

（3）在区间[xi，xi+1]（i=0，1，…，n-1）上，S（x）是x三次的多项式。

则称函数S（x）是y=f（x）在区间[a，b]上的三次样条插值函数。

由定义可以看到，每个子区间上的多项式可以各不相同，只要在相邻子区间的连接处是光滑的就行。因此，三次样条插值也称为分段光滑插值。从定义可以看出，要找到函数S（x），则需要在每个区间[xi，xi+1]（i=0，1，…，n-1）上确定4个待定系数，小区间共有n个，所以应确定4n个参数。

根据函数S（x）在区间[a，b]上二阶导数连续，则在节点xi（i=1，2，…，n-1）处应满足

上述共有（3n-3）个条件，再加上函数S（x）满足插值条件S（xi）=yi（i=0，1，…，n），则一共有（4n-2）个条件，因此还需要找到两个条件才能确定S（x）所有的系数。(www.daowen.com)

一般情况下，可以在区间端点上各加一个边界条件。边界条件可根据实际问题的要求给出，一般情况下，可以分为以下3种情况。

（1）已知端点处的一阶导数值，即

（2）已知两端点的二阶导数值，即

其中，有特殊情况S″（x0）=S″（xn）=0，这类边值条件称为自然边界条件。

（3）当函数f（x）是以（xn-x0）为周期的函数时，也要求S（x）是周期函数。这种情况下边界条件应满足

此外，y0=yn。这种方式确定的样条函数S（x），也叫作周期样条函数。

　视频12：三次　样条插值