有的时候在工程应用中利用简单函数逼近一个函数f（x），不仅要求在节点上等于函数值，而且还要求它与函数在节点处有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这类插值问题就是埃尔米特（Hermite）插值问题。从几何方面来思考这个问题：利用插值方法求出插值多项式，不但要过已知的函数点，而且在这些点处的切线与原曲线也“相切”。

下面讨论节点处函数f（x）函数值与导数值都相等的情况。找到一个插值多项式H（x），在节点a≤x0＜x1＜…＜xn≤b上，满足条件

可以看到，这里有（2n+2）个条件，这些条件可以唯一确定出一个次数不超过（2n+1）的多项式H2n+1（x），假设多项式的形式为

代入条件式（2.5.1）中，利用这（2n+2）个条件来确定（2n+2）个系数，是一个非常大的方程组，计算复杂。为了避免计算上的麻烦，仍采用前面章节中构造插值基函数的方法来求埃尔米特插值多项式。设有两组函数hi（x）、Hi（x）（i=0，1，…，n），它们满足：

（1）hi（x）、Hi（x）（i=0，1，…，n）都是至多（2n+1）次多项式；

（2）以下方程成立条件，即(www.daowen.com)

则多项式函数

特别地，当n=1时，可以得到

　视频09：　埃尔米特插值

最后，得到两节点的三次埃尔米特插值多项式为