标量函数的梯度：gradf

标量的梯度

●电场强度分布情况用矢量散度来表示

矢量A的散度：divA

矢量的散度

●标量函数梯度的散度

拉普拉斯算子

注：学习矢量分析的基础。

[1]标量的梯度

标量函数的梯度为

gradf（x，y，z）=∇f

f（x，y，z）为标量函数

∇为矢量微分算子

矢量微分算子为

[2]矢量的散度

矢量的散度为

divA=∇·A

A为矢量

[3]拉普拉斯算子

标量函数梯度的散度

div（gradf（x，y，z））=∇·（∇f）=∇²f(www.daowen.com)

拉普拉斯算子为

标量的梯度

电场中的电位可以用电场强度的梯度来表。标量函数f（x，y，z）的梯度可用矢量微分算子∇表示为

∇为矢量微分算子。梯度的大小为

矢量的散度

电场强度的分布，可以采用矢量的散度算子来表示。矢量A的散度，可用矢量微分算子∇表示为

拉普拉斯算子

如果矢量A为标量函数f（x，y，z）的梯度，则矢量A的散度为

Δ²为拉普拉斯算子，又称调和算子。

算子∇的相关公式

φ，ψ，u，v是x，y，z的函数，位置矢量r为

r=ix+jy+kz

r₀是r方向的单位矢量，则各函数的梯度如下：

例题1

如图所示，点P的电位为V=Q/4πε₀r，求电场强度矢量。这里，位置矢量r为r=rr₀=ix+jy+kz，r=（x²+y²+z²）1/2。

【例题1解】

电场强度矢量为E=-ΔV。

因为r=（x²+y²+z²）1/2，所以其x方向的分量为

同理，其y，z方向的分量为

因此有，