理论教育 线积分、面积分与体积积分-电磁场基本原理

线积分、面积分与体积积分-电磁场基本原理

时间:2023-11-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:在各个微小部分上的点的fΔSi的和,就是当n→∞、ΔSi→0时在曲面S上的面积分。体积积分若设空间的连续函数为f,用曲面围成的体积为V,则将该体积分割为n个微小部分,该微小部分的各个体积为ΔVi(i=1,2,…如果某物理量用体积密度ρ在空间内连续分布时,则任意空间内的该物理量的总量可以通过体积积分来求得。

线积分、面积分与体积积分-电磁场基本原理

曲线AB被n个等分点Pi分割为微小弧

线积分的定义

有连续函数fxyz和曲面S存在

曲面S被分割成n个微小的部分

面积分的定义

有连续函数fxyz和体积V存在

体积V被分割成n个微小的部分

体积积分的定义

注:线积分、面积分和体积积分在电量计算中会经常用到

[1]切线线积分

矢量Axyz)中存在曲线PQ时,在其曲线上的一点的矢量A及该点的微小线段的切线矢量dl的内积的线积分为

AlAl方向(切线方向)分量

dl=idx+jdy+kdz

[2]法线面积分

矢量场Axyz)中存在曲面S时,在该曲面上一点的矢量,A及该点的微小部分的单位法线矢量n0的内积的面积分为

SA·n0dS=SAndS

AnA的曲面S的法线方向分量

矢量场中的切线积分与法线面积分为切线矢量、法线矢量的内积的积分

线积分

如设空间的连续函数为fxyz),某曲线为AB,则将该曲线用点P1、P2,…,Pn,分割为n个微小的弧,该弧的各个长度为Δlii=0,1,2,…,n)。在各弧上的点(xiyizi)的fxiyizi)Δli的和,就是当n→∞、Δli→0时沿曲线AB的线积分。

面积分(www.daowen.com)

设空间的连续函数为fxyz)、某曲面为S,则将该曲面分割为n个微小部分,该微小部分的各个面积就为ΔSii=1,2,…,n)。在各个微小部分上的点(xiyizi)的fxiyizi)ΔSi的和,就是当n→∞、ΔSi→0时在曲面S上的面积分。

体积积分

若设空间的连续函数为fxyz),用曲面围成的体积为V,则将该体积分割为n个微小部分,该微小部分的各个体积为ΔVii=1,2,…,n)。在各个微小部分中点xiyizi)的fxiyizi)ΔVi的和,就是当n→∞,ΔVi→0时体积V的体积积分。

如果某物理量用体积密度ρxyz)在空间内连续分布时,则任意空间内的该物理量的总量可以通过体积积分来求得。

在空间内任意一点(xyz),当x坐标由x变为x+dxy坐标由y变为y+dyz坐标由z变为z+dz时,空间内的任意一点(xyz)做成微小部分,该微小部分的体积dV可表示为

dV=dxdydz

该微小部分的物理量dF由于其体积密度ρxyz)是空间内某点的单位体积的物理量,于是有

dF=ρxyz)dV=ρxyz)dxdydz

x坐标由0增加到xy坐标由0增加到yz坐标由0增加到z时构成的空间内,该物理量的总量F

若某物理量的面密度ρxyz)为连续的分布函数,则任意曲面上的该物理量的总量可通过面积分求得。若某物理量的线密度ρxyz)为连续的分布函数,则任意曲线上的物理量的总量可通过线积分求得。

例题1

A=(x-1)i+(y+1)j+zk表示一个空间矢量,试求在上图所示的xyz正交坐标系上,从点P(1,-2,3)到点Q(2,4,-6)的线积分的值。

【例题1解】

内积A·dl

从点P(1,-2,3)到点Q(2,4,-6)的线积分为

例题2

试求半径为r的球面的闭合曲面上的函数fxyz)=a的面积分。

【例题2解】

面积分为

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