曲线AB被n个等分点Pi分割为微小弧
线积分的定义
●有连续函数f(x,y,z)和曲面S存在
曲面S被分割成n个微小的部分
面积分的定义
●有连续函数f(x,y,z)和体积V存在
体积V被分割成n个微小的部分
体积积分的定义
注:线积分、面积分和体积积分在电量计算中会经常用到
[1]切线线积分
矢量场A(x,y,z)中存在曲线PQ时,在其曲线上的一点的矢量A及该点的微小线段的切线矢量dl的内积的线积分为
Al:A在l方向(切线方向)分量
dl=idx+jdy+kdz
[2]法线面积分
矢量场A(x,y,z)中存在曲面S时,在该曲面上一点的矢量,A及该点的微小部分的单位法线矢量n0的内积的面积分为
∫SA·n0dS=∫SAndS
An:A的曲面S的法线方向分量
矢量场中的切线积分与法线面积分为切线矢量、法线矢量的内积的积分
线积分
如设空间的连续函数为f(x,y,z),某曲线为AB,则将该曲线用点P1、P2,…,Pn,分割为n个微小的弧,该弧的各个长度为Δli(i=0,1,2,…,n)。在各弧上的点(xi,yi,zi)的f(xi,yi,zi)Δli的和,就是当n→∞、Δli→0时沿曲线AB的线积分。
面积分(www.daowen.com)
设空间的连续函数为f(x,y,z)、某曲面为S,则将该曲面分割为n个微小部分,该微小部分的各个面积就为ΔSi(i=1,2,…,n)。在各个微小部分上的点(xi,yi,zi)的f(xi,yi,zi)ΔSi的和,就是当n→∞、ΔSi→0时在曲面S上的面积分。
体积积分
若设空间的连续函数为f(x,y,z),用曲面围成的体积为V,则将该体积分割为n个微小部分,该微小部分的各个体积为ΔVi(i=1,2,…,n)。在各个微小部分中点(xi,yi,zi)的f(xi,yi,zi)ΔVi的和,就是当n→∞,ΔVi→0时体积V的体积积分。
如果某物理量用体积密度ρ(x,y,z)在空间内连续分布时,则任意空间内的该物理量的总量可以通过体积积分来求得。
在空间内任意一点(x,y,z),当x坐标由x变为x+dx,y坐标由y变为y+dy,z坐标由z变为z+dz时,空间内的任意一点(x,y,z)做成微小部分,该微小部分的体积dV可表示为
dV=dxdydz
该微小部分的物理量dF由于其体积密度ρ(x,y,z)是空间内某点的单位体积的物理量,于是有
dF=ρ(x,y,z)dV=ρ(x,y,z)dxdydz
在x坐标由0增加到x,y坐标由0增加到y,z坐标由0增加到z时构成的空间内,该物理量的总量F为
若某物理量的面密度ρ(x,y,z)为连续的分布函数,则任意曲面上的该物理量的总量可通过面积分求得。若某物理量的线密度ρ(x,y,z)为连续的分布函数,则任意曲线上的物理量的总量可通过线积分求得。
例题1
A=(x-1)i+(y+1)j+zk表示一个空间矢量,试求在上图所示的xyz正交坐标系上,从点P(1,-2,3)到点Q(2,4,-6)的线积分的值。
【例题1解】
内积A·dl为
从点P(1,-2,3)到点Q(2,4,-6)的线积分为
例题2
试求半径为r的球面的闭合曲面上的函数f(x,y,z)=a的面积分。
【例题2解】
面积分为
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