有一些音乐家也很喜欢数学,虽然大多数音乐家都对数学比较疏远。事实上,音乐家有很多机会跟数学接触,而且还是接触到一些较复杂的对数,不单单是简单的数字。
一位物理学家曾经说过:我有一个喜爱弹钢琴的中学同学,他特别讨厌数学,觉得音乐和数学根本不相通。他甚至说:“尽管毕达哥拉斯发现了音乐的频率之比,但是毕达哥拉斯的音阶并不适用于我们的音乐。”
可以想见,当我跟他讲他每次弹钢琴时,其实弹的都是对数时,我的同学很不愿意承认自己的失败。等音程半音音阶中的每个“音程”,不是依照音的频率,也不是依据波长等距离排列,而是依据这些数以2为底的对数来进行排列的。
假如最低八音度(我们称它为零八音度)的do音每秒振动n次,那么第一八音度的do音每秒会振动2n次,第二八音度每秒会振动4n次。以此类推,第m八音度的do音每秒会振动n·2m次。用p代表钢琴半音音阶中的某一个音调,用o代表每个八音度do,那么sol为第7个音,la就是第9个音,如此等等。由于在等音程半音音阶中,后一个音的频率是前一个音的122倍,所以任何一个音的频率,都可以表示为下式:
其意义是第m个八音度里第p个音的音频。取上式两边的对数,得(www.daowen.com)
也就是
如若最低的do音频率是1,也就是n=1,然后把上面所有的对数都看成是以2为底的,就是相当于把log2看成1。所以上式就变成
综上可知:钢琴键盘上的号码正好与对应音调频率的对数[4]相等。式中m表示对数的首数,它代表音调位于第几个八音度;p[5]表示对数的尾数,它代表音调在该八音度中占多少位置。
拿第三个八音度中的sol音来说,它的频率是(3+)(≈3.583),在该式中的3为这个频率以2为底的对数的首数,那么(≈3.583)是这个频率以2为底的对数的尾数。所以,sol音的频率是最低八音度中do音频率的23.583≈11.98倍。
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