本节介绍一下代数定理，借助代数定理能解决许多求变数的最大值或最小值的问题。在此之前，我们先看看下述问题。

【问题】如果两个数的和一定，想让它们的乘积最大，这两个数分别是多少？

【解答】将两个数的和设成a，那么需要求的两个数就可以这样表示

x表示每个数与的差。那么，它们的乘积是

显然x的值越小，此式的乘积就越大。当x=0，也就是这两个数相等时，它们的乘积最大。

接着，我们再看看3个数的情况。

【问题】把3个数的和设成a，如果使它们的乘积最大，那么这三个数分别是多少？

【解答】我们需要用到上文中的结论来解决该问题。

如分别是互不相等的3个数，即任一个数都不是，那么这其中必然有一个大于，设该数为：

同样，这其中必然有一个数小于，把这个数设为

又x与y都是正数，那么显然第三个数可以表示为

也就是说，如果把a分成互不相等的3个数，它们的乘积一定比上面的乘积小。即将a平均分成3份时，它们的乘积是最大值。

同理。我们可以证明4个数、5个数，甚至更多数的情况。它们都是在各部分相等的时候乘积最大。

下面，我们继续讨论。

【问题】如果x+y=a，那么当x与y分别是多少时，xpyq的值最大？

【解答】实际上，此题是求x为何值时，式子

xp（a-x）q(www.daowen.com)

的值最大。

将上式乘以，得

很明显，当此式的值最大时，前面的式子才能取到最大值。

将上式进行变换，如下：

以上所有乘数的和为

显然，它们的和为常数。

依照前面的分析，可以得出下面的结论：当每个乘数相同时，

它们的乘积取最大值，即

时，上面的乘积最大。

由a-x=y，可得出下面的式子：

也就是说，要使xpyq取得最大值，需要x和y满足上面的关系。

同理可证：

在x+y+z保持不变的情况下，当x:y:z=p:q:r时，xpyqzr值最大；

在x+y+z+t保持不变的情况下，当x:y:z:t=p:q:r:u时，xpyqzrtu值最大；

……