【问题】接下来做一个游戏，来检测对不定方程的解答是否熟练。

请你的朋友将他生日当天的日期乘以12，再把生日的月份乘以31，然后把这两个数相加的结果告诉你，你就能推算出他生日是几月几日。比如，你朋友的生日为2月9日，那么他会这样计算：

9×12=108，2×31=62，

108+62=170

那么，他告诉你计算的结果为170时，你该怎么推算出具体日期呢？

【解答】根据题意我们可以列出以下方程

12x+31y=170

x和y都是正整数，并且

x≤31，y≤12

所以

所以

2+5y=12t

继而

因此

1-t=5t1

t=1-5t1(www.daowen.com)

所以

而

0＜x≤31，0＜y≤12

则t1的取值范围是

t1是整数，所以，t1只能取0，解得

x=9，y=2

从而得出朋友生日的具体日期是2月9日。实际上，这个游戏一定可以成功，因为这个问题的解只有一个。将朋友告诉你的数值记为a，可得以下方程

12x+31y=a

这里我们需要采取“反证法”。假设上面方程的解有两个，分别为x1，y1和x2，y2，其中，x1和x2不大于31，y1和y2不大于12。可得下面的等式

12x1+31y1=a

12x2+31y2=a

两式相减得

12（x1-x2）+31（y1-y2）=0

由于x1，x2，y1，y2均为整数，我们可得出12（x1-x2）可以被31整除。而x1，x2都不大于31，所以（x1-x2）也小于31。而只有在x1=x2时，12（x1-x2）才能被31整除，也就是说，这两个解相等，这与前面的假设相矛盾。换言之，前面的方程有唯一的解。