为了解决求最大值和最小值的问题，我们介绍一条代数定理，通过下面的具体例题进行讲解。

题：把一个数分成两部分，使它们的乘积最大。

解：设这个数是a，分成的两部分表示成：

这里的x 表示的是每一部分和a 的半数之间的差值。两部分的乘积是：

很明显，x 的值越小，两部分的差值越大，两部分的乘积也越大。当x 的值是零的时候，也就是都等于a 的一半时，它们的乘积最大。

由此可知，这个数应该平分。因此，相加和一定的两个数，相等的时候它们的乘积才会最大。

如果是三个数呢，什么时候的乘积最大？

题：把一个数分成三部分，使它们的乘积最大。

解：我们按照上一道题的解法，来分析这道题。假设把a 分成三部分，每一部分都不等于，肯定有一部分大于，设这一部分是：

设较小的那一部分是：

由于x 和y 都是正数，那么，剩余的第三部分就是：

和这两个数的和等于和的和，但与的差（x-y）却小于与的差（x+y）。由上道题的结论可知：

的乘积大于后两部分和的乘积。

如果把和变为和，第三部分不变，乘积就会相应地变大了。

假设其中的一部分是，另外的两部分则是：

如果后面这两部分也都是，那么，三部分的乘积会更大，等于：

但是，如果把a 分成不等的三部分，乘积肯定会小于，也就是说，把a平分成三等分时，三个相等的数的乘积最大。

同理可证，四个、五个甚至更多的乘数也适用于这个定理。(www.daowen.com)

下面，我们来看另一种情况。

题：已知x+y=a，为了使xpyq 的值最大，x 和y 的取值分别是多少？

解：也可以这样说，当x 的值是多少时，表达式：

xp（a-x）q

的值最大。

表达式乘以后，得到一个新的表达式：

显然，新的表达式和原来的表达式在同样的时候取得最大值。

我们把刚才得到的新的表达式写成这种形式：

表达式的和是：

也就是说，表达式的和是一个常数。

根据前两道题的结论可知，只有：

中的每个乘数都相等的时候，乘积才最大。

也就是说，只有当

时，取得最大值。

把y=a-x 代入上面的等式，变换形式后得到：

所以，在（x+y）的值一定的情况下，只有当x∶y=p∶q 时，xpyq 的值才最大。

同理可证，在（x+y+z）或者（x+y+z+t）的和一定的情况下，当y∶x∶z=p∶q∶r 或者y∶x∶z∶t=p∶q∶r∶u 的时候，xpyqzr 或者xpyqzrtu 的值最大，等等。