题：在一条笔直的铁路对面20 千米的地方有一个村庄B，在铁路附近有一个村庄A（图7-3）。从A 村到B 村去，要先走铁路AC，再走公路CB，已知火车的速度是0.8 千米/分，汽车的速度是0.2 千米/分。为了使所需的时间最短，站点C 应设在什么位置？

图7-3

解：过点B 作垂直于AC 的直线BD，垂足是点D。设AD 之间的距离是a，CD 之间的距离是x。那么，AC 的距离是（a-x），CB 之间的距离是。火车行驶AC 这段距离所用的时间是：

汽车行驶CB 这段距离所用的时间是：

从A 到B 需要的时间是：

用m 表示从A 到B 所需的时间，按照题中的要求，m 要取最小值。

把等式变形为：

等式两边同时乘以0.8，得到：

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令k=0.8m-a，上面的等式可以写成，等式两边同时平方，再变形为：

15x2-2kx+6 400-k2=0

解方程得到：

因为k=0.8m-a，所以m 的值最小时，k 的值也是最小，反之也成立^[1]。但是，为了使x 的值是实数，16k2 不能小于96 000。也就是说，16k2 的最小值是96 000，此时k 的值是：

所以，x 的值是：

不管a 的长度是多少，站点C 都应该设在距离点D 约是5 千米的地方。

当然，只有在x 小于a 的时候，我们的解才有意义，因为在列方程时，我们的前提条件是（a-x）是一个正数。

当x=a 时，根本没有必要设立站点C，从A 直奔B 就可以了；在a 小于5.16千米时情况也是这样。

这次我们比方程考虑得要周全。如果我们盲目相信方程，不考虑其他的情况，就设立一个站点C，岂不是太荒唐了，因为当x＞a 时，在铁路上行驶的时间：

是一个负值。这种情况是非常有意义的，它告诉我们在利用代数解题时，要慎重对待求出的结果。必须谨记一点，在超出所使用的代数依据的前提时，所求的结果就没有意义了。