学会了求解不确定方程，就可以完成下面的猜生日游戏。

如果一个同学用他出生的日子乘以12，出生的月份乘以31，把乘积相加的和告诉你，你就可以推算出他出生的日期。

例如，你的同学是2月9号出生的，那么，他将会完成下面的运算：

9×12=108

2×31=62

108+62=170

之后，他会告诉你170这个数，你该如何来确定他的生日呢？

解：其实，这道题就是解不确定方程：

12x+31y=170

这里的x 和y 必须是正整数，而且日子x 的值不大于31，月份y 的值不大于12：

其中，，所以：

2+5y=12t

其中，，所以，t=1-5t1。因此：

已知，0＜x≤31，0＜y≤12，那么t1 的取值范围是：

所以：(www.daowen.com)

t1=0，x=9，y=2

也就是说，他的生日是2月9日。

还可以使用另一种方法求解。我们已经知道了，a=12x+31y。因为12x+24y 可以被12 整除，所以7y 和a 除以12 所得的余数相同。我们发现，把7y 和a 扩大7 倍后，所得的结果除以12 后的余数也相同。49y=48y+y，而48y 可以被12 整除，所以y 和7a 除以12 后得到的余数相同。换句话说，如果a 不能被12 整除，那么y 就是7a 除以12 后的余数；如果a 能够被12 整除，y 的值就是12。于是，月份的值就求出来了。有了y 的值，很容易求出x 的值。

建议：求解7a 除以12 的余数之前，可以用a 除以12 的余数代替a，这样会简单很多。例如，a 的值是170，我们进行下面的计算：

170=12×14+2（余数是2）

2×7=14

14=12×1+2（y=2）

现在，你就知道了，你同学的生日是2月9日。

接下来，我们来证明一下，无论什么时候这个猜生日的游戏只有一组正整数解。假设那个同学告诉你的数是a，那么：

12x+31y=a

我们来反证一下，假设这个方程有两组正整数解，它们是x1，y1 和x2，y2，且x1 和x2 都不大于31，y1 和y2 都不大于12。于是：

用第一个方程减去第二个方程得到：

12（x1-x2）+31（y1-y2）=0

由等式可以得知，12（x1-x2）可以被31 整除。因为x1 和x2 都是不大于31 的正整数，所以它们的差一定小于31。因此，只有当x1=x2 时，12（x1-x2）才能够被31 整除。所以假设不成立，方程只能有一组正整数解。