题：你在商店里买了一件衬衣，价钱是19 卢布，你身上只有面值2 卢布的钞票，售货员手中的钞票是5 卢布的。请问：你能够付清这件衬衣的钱吗？要怎么支付？

要解这道题就要知道：你需要给售货员几张面值2 卢布的钞票，他应该找给你几张面值5 卢布的钞票，使它们的差值正好是19 卢布。题中有两个未知数，你给售货员的钞票张数x，售货员找给你的钞票张数y，但只能列出一个方程：

2x-5y=19

虽然一个方程中有两个未知数，可以有无数组解，但要在这些解中找出一组正整数解（x 和y 指代的是钞票的张数），绝非一件容易的事情。这就是用代数方法来解这类“不确定方程”的原因。古代著名的数学家刁藩都首先把这种方法引入到代数中，所以这类方程叫作“刁藩都方程”。

我们以上面的题为例，讲解一下该怎么解这种方程。

解：我们知道x、y 都是正整数，要求的是方程：

2x-5y=19

中x 和y 的值。

我们求解系数较小的那个未知数，得到：

2x=19+5y

由此得出：

因为x、y 和9 都是整数，只有也是整数时，上面的等式才成立。假设，那么等式将变成：

x=9+2y+t

也就是说：

2t=1+y，y=2t-1

在方程中，用t 表示y，得到：

x=9+2（2t-1）+t=7+5t

现在，我们讨论下面的两个式子：

很明显，只要t 是整数，x 和y 就一定是整数。我们知道x 和y 是正整数，也就是大于0，所以

解不等式得：

既然t 是整数，那么，它可能的值是：

t=1、2、3、4、…

与此相对应，x 和y 可能的取值是：

x=5t+7=12、17、22、27、…

y=2t-1=1、3、5、7、…(www.daowen.com)

现在，我们就知道要如何付钱了。

你可以给售货员12 张2 卢布的钞票，他会找给你1 张5 卢布的钞票：

2×12-5=19

你也可以给售货员17 张2 卢布的钞票，他会找给你3 张5 卢布的钞票：

2×17-3×5=19

等等。

从理论上来看，这道题的解有无数组，但实际上并非如此。因为顾客和售货员持有钞票的数量是有限的，当两个人的钞票张数少于15 张时，只能采用第一种付款方式，即顾客使用12 张2 卢布的钞票，售货员找给顾客1 张5 卢布的钞票。由此可知，不确定方程中只有几组解符合实际情况。

我们看上道题的变形，希望读者亲自动手求解一下，当作是练习。如果顾客手中的钞票都是5 卢布的，售货员手中的钞票是2 卢布的，应该怎么付费呢？结果是下面一系列的解：

x=5、7、9、11、…

y=3、8、13、18、…

事实证明是对的：

5×5-2×3=19

5×7-2×8=19

5×9-2×13=19

……

我们还可以使用代数方法，从这道题的母题中入手，找出这些解。支付5卢布的钞票就等于找回负的5 卢布的钞票，找回2 卢布的钞票就相当于支付负的2 卢布的钞票，因此，这道题依然可以用母题的方程求解：

2x-5y=19

条件是x 和y 的值都是负数。

由等式

得出：

解不等式得到：

当t 的值是-2、-3、-4 时，相应的x 和y 的值是：

第一组解的意思是，顾客支付了负3 张2 卢布的钞票，找回了负5 张5 卢布的钞票；也就是说，顾客支付了5 张5 卢布的钞票，售货员找给顾客3 张2卢布的钞票。其他的解可以按照同样的方法解读。