在实际生活中，有时会使用纯算术计算，如果不借助相应的代数方法，计算起来会非常困难。例如，要计算的是：

的值，这种计算在某些时候是非常重要的。例如，在计算比电磁波的传播速度慢得多的物体的速度时，是否可以采用速度的相加规律，而不用考虑由于相对论引起的力学的变化。在旧的力学原理中，如果一个物体以v1和v2（千米／秒）这两种速度参与同向的两种运动，那么，它的总速度就是（v1+v2）千米／秒。但是，按照新的相对论力学，物体的总速度是：

这里的c是光在真空中的传播速度，大约是300 000千米／秒。

我们来看这个例子，一个物体参与同向的两种运动，两种速度都是1千米／秒，按照旧的力学的原理，它的总速度是2千米／秒，但按照新的相对论力学的原理，物体的总速度是：

这两个结果到底相差多少呢？最紧密的仪器是否能够测量出这种差距呢？为了解决这个问题，我们需要进行下面的计算。

我们采用两种方法完成这个计算：一种是通常使用的算术方法，另一种是代数方法。只要看到下面那一长串的数字，就可以知道代数方法的好处了。

首先，把分数转换一下：

然后，用分子除以分母：

通过上面的式子可以看出来，这种计算不仅费时，还容易出错。解这道题的关键是，上面商中的9到底什么时候才会变成其他的数字。

下面我们来比较一下，用代数方式是多么简单。这时，我们要用到一个近似等式：当a是一个非常小的分数时，那么(www.daowen.com)

很容易证明这个近似等式，只要把除数和商的乘积与1比较就可以了：

1=（1+a）（1-a）

也就是：

1=1-a2

因为a是一个非常小的分数，那a2就是一个更小的分数了，因此可以忽略不计。

把上面的理论应用到我们的计算中^[5]：

我们得到的结果和用算术方法得到的一样，但快捷得多。

大家可能会产生疑问，上面列举的这道关于力学的题目到底有什么意义呢？这个结果告诉我们，由于力学中的速度比光速小得多，因此用旧的力学计算出来的偏差不容易察觉，甚至是1千米／秒这样的速度也只是精确到小数点后面第11位，而日常技术的应用中仅仅限于小数点后面的四五位而已。所以我们大胆地断言，新、旧力学在处理比光速小得多的速度时，没有什么差别。但是，在现代生活的某些领域，就不是这样了。比如，航天技术领域的速度大于10千米／秒，在这种情况下，旧的力学和相对论力学的区别就明显了。况且，未来可能会出现更大的速度。