有些末尾是一长串的数字的数的各种次方，其结果还是那一长串的尾数。

我们知道，25和76是具有这种特征的两位数，想要找出具有相同特征的三位数，就需要在25和76的前面添上一个相应的一位数。假设应该添上的那个数字是k，所求的三位数可以表示成：

100k+76

尾数是这个三位数的数可以写成：

1 000a+100k+76，1 000b+100k+76

这两个数相乘得到：

1 000 000ab+100 000ak+100 000bk+76 000a+76 000b+

10 000k2+15 200k+5 776

除了最后两个数，其他的数都是1 000的倍数。如果最后两个数的和与（100k+76）的差：

15 200k+5 776-（100k+76）

=15 100k+5 700

=15 000k+5 000+100（k+7）

是1 000的倍数，那么乘积的末尾就是（100k+76）。很明显，只有当k的值是3的时候，才符合条件。

所以，所求的三位数是376，376的任意次方的尾数依然是376，例如：

3762=141 376

我们可以想一下，具有这种特征的四位数应该是在376的前面再加上一位数。如果这个数字是h，就得到这样一个问题：当h是多少的时候，（10 000a+1 000h+376）和（10 000b+1 000h+376）的乘积的尾数才是（1 000h+376）呢？两个三项式相乘后，去掉尾数是4个零的各项，剩余的是：

752 000h+141 376

用这个式子减去（1 000h+376）的差：

752 000h+141 376-（1 000h+376）(www.daowen.com)

=751 000h+141 000

=（750 000h+140 000）+1 000（h+1）

如果差数能被10 000整除，乘积的末位就会是1 000h+376。显然，只有h=9的时候才符合条件。

于是，所求的四位数是9 376。如果想找出这样的五位数，就需要在9 376的前面加上一个相应的一位数，按照前面的推理可以得出09 376。再进一步推理，可以得出六位数109 376，再往后是七位数7 109 376，等等。

在所得的数前面无限地添加下去，就可以得到一个有着无限尾数的数：

…7 109 376

这一类的数可以进行加法和乘法运算，因为这两种运算的竖式都是从右向左进行的。并且，两个这样的数的和还可以逐位减去许多数字。

有意思的是，上面的数“…7 109 376”满足方程：

x2=x

这是令人难以相信的。实际上，由于这个数的尾数是76，所以它的平方的最后两位也是76。同理，尾数是376，甚至是9 376等的数的平方，其尾数也会是376、9 376……也就是说，当x=…7 109 376时，从x2中去掉一系列的项，就能得到一个等于x的数，因此x2=x。

我们分析了尾数是76的数^[1]，用同样的方法可以分析尾数是25的数，经过推理后，我们得到下面一系列的数：

5、25、625、0 625、90 625、890 625、2 890 625，等等。于是，我们可以写出另一个尾数无限长的数：

…2 890 625

这个数也满足方程x2=x，而且，这个数等于：

（（（52）2）2）2…

这个结果就代数语言表示就是方程x2=x（不包括x=0和x=1），两个解是：

x=…7 109 376，x=…2 890 625

除此之外，在十进制中没有别的解^[2]。