如上所述，存在多个影响水力劈裂过程中裂隙开度变化的环境因素，如有效法向应力、综合剪应力、水压力、裂隙产状等。确定其中的何种因素对裂隙开度的变化较为敏感，无疑是有意义的。

这里，采用与Nordstrom等人相似的方法，通过逐一改变岩体有关参数值以及水压力值，得到裂隙开度的增量Δb*值对数据变化的“响应”。计算中应用的是“多步法”，即每次计算时仅改变一个参数（Pi）值，而其他参数保持不变，以评价不同参数对计算结果的影响。

9.3.5.1　灵敏度函数的建立

在实际工作中，可用灵敏度函数来评价有关参数的变化或误差（这种误差一般由获取参数的不确定性引起）对计算结果的影响及其影响程度。

所谓裂隙开度增量Δb*值的灵敏度函数，就是指在一定状态下，某参数对裂隙开度增量Δb*值的偏导数。这里，用Pi表示任一参数，当裂隙开度增量Δb*作为参数Pi的函数时可表示为

则参数Pi灵敏度函数可表示如下

如水头压力P 相对于裂隙开度的增量Δb*值的灵敏度函数可以写成

令ΔP＝1MPa，而σ1、…、β等参数以实测值代入上述表达式，这样就可以求出水头压力P 的灵敏度函数FP。同理，可以求出σ1、σ3、φb、β等相对于裂隙开度的增量Δb*值的灵敏度函数Fσ1、Fσ3、Fφb、Fβ 的具体表达式及其相应的灵敏度系数的值。

如何求取灵敏度函数的具体表达式及其相应的灵敏度系数值，其具体步骤如下。

3）由上述步骤1）和2）的计算结果可得到一组Δ（Δb*）值，即

式中：p 为ΔPi的个数。根据Δ（Δb*）（n）～ΔPi（n＝1，…，p），用最小二乘法求Δ（Δb*）和ΔPi之间的经验关系式，即Fi的具体表达式。

4）根据步骤3）求参数Pi相对于裂隙开度增量Δb*值的灵敏度函数的具体表达式，将参数Pi的改变量及其余参数Pm的实测值代入，求参数Pi相对于裂隙开度增量Δb*值的灵敏度系数Fi值。

这样，通过上述步骤的计算，求出所有的Pi（i＝1，2，…，m）关于ΔPi与Δ（Δb*）之间的经验关系式Fi（i＝1，2，…，m）及灵敏度系数值，从而可以对不同的参数Pi在相同误差时引起的岩体裂隙开度增量Δb*值的改变量进行分析和评价。

9.3.5.2　裂隙开度增量Δb*值的敏感性分析

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根据以上分析，对工程实例进行计算。在具体的计算过程中，若参数Pi为第一、第三主应力时则其变化量ΔPI（即误差）取2MPa；为水头压力时取1MPa；为裂隙基本摩擦角、导水裂隙倾角时均取10°。部分计算结果见表9.3.7～表9.3.8。

表9.3.7　基于参数不同取值的裂隙开度增量Δb*计算结果统计

表9.3.8　灵敏度函数Fi表达式及相关参数的灵敏度系数统计

根据表9.3.7，并结合图9.3.35～图9.3.39，可得出：

1）由图9.3.35 和图9.3.36 反映，σ3、P （水压）越大，裂隙开度的增量Δb*值越大，之间呈现良好的线性关系，即随着σ3、P 的变化，裂隙开度的增量Δb*值的灵敏度变化很小。

2）由图9.3.37和图9.3.38反映，裂隙开度的增量Δb*随σ1（最大主应力）、φb（基本摩擦角）的增大而增大，但两者都存在一个临界点，如Δb*～σ1关系曲线存在一点A（18，0.0168），当σ1＜18MPa时，Δb*随σ1增大而呈现较大的变幅，而当σ1＞18MPa时，Δb*随σ1的增大而增幅趋于减小。由此表明，随着σ1的增大，岩体的各向异性趋于更显著，此时σ1的增量对裂隙开度增量Δb*值的贡献也随之减小。又如Δb*～φb 关系曲线存在一点B（70，0.0541），当0°＜φb＜70°，Δb*随φb 增大而呈现较小的变幅，而当φb＞70°时，Δb*随φb 的增大其增幅也趋于增大。

图9.3.35　第三主应力σ3 的灵敏度分析曲线

图9.3.36　水压P 的灵敏度分析曲线

图9.3.37　第一主应力σ1 的灵敏度分析曲线

图9.3.38　裂隙基本摩擦角φb 的灵敏度分析曲线

图9.3.39　裂隙长轴方向与σ1 之间夹角β的灵敏度分析曲线

3）裂隙开度增量Δb*随裂隙长轴方向与最大主应力σ1 之间的夹角β的变化关系比较复杂。图9.3.39 反映，当夹角β＜30°时，Δb*随夹角β的增大而增大；当30°≤β≤60°时，Δb*随夹角β的增大而减小；当60°＜β≤90°，Δb*随夹角β的增大而增大。