所谓因子分析（FactorAnalysis），就是在具有一定关联性的许多因子中，通过降维处理找出能反映它们内在联系的起主导作用的、数目较少的新因子（或综合因子）；这些新因子既能将各个原始因子所包含的不十分明显的差异集中地反映出来，使得变量（或样品）间在新因子上反映的差异尽可能突显，同时它们之间又彼此无关，即要求把重叠的信息去掉。

同样，因子分析可分为R—型和Q—型两类。前者是研究水质变量之间的相关关系，而后者则研究水样之间的相关关系，两者的数学描述有其相似性。这里，只讨论R—型因子分析模型。

首先，对水质变量用式（5.4.8）进行标准化处理，即由xij→x′ij。显然x′ij（i＝1，2，…，p；j ＝1，2，…，N）的均值为0，方差为1，这样方差协方差阵S与相关阵R 完全一样。即在水质变量矩阵X 与R 之间具有R＝XX′，求出R的特征值，记λ1≥λ2≥…≥λp；其特征向量矩阵为U ＝［u1、u2、…、up］。这时，有

对式（5.4.11）两边分别左乘U′、右乘U，得

令F＝U′X，有

此时，F 就是相应于该水质资料矩阵的主因子资料矩阵。自然有Fα＝U′Xα，α＝1，2，…，N，即每一个Fα就是第α个样品主成分的观测值。

实际工作中，只需要其中一部分就足以代表p 个x 变量的变化，通常选m，使

就可以了。

关于主因子Fm（m＜p）的解，实际上是个求解条件极值的问题，可采用拉格朗日乘数法，从而得到m 个主因子解，并由此得到因子载荷矩阵Ap×m。然而，欲使每个主因子Fi（i≤m）更能清晰地代表其地质及水文地质意义，必须对求得的因子载荷矩阵再进行数学处理，使其结构简化，即使每个因子的载荷的平方按列向0或向1 两极分化。对之常用的数学处理方法有：方差最大旋转和promax斜旋转等（王学仁，1982）。

至此，可以得到因子分析的数学模型，即可以把变量（或样品）表示为公共因子的线性组合：

需要指出的是，应用上述R—型因子分析方法可以对现有水质监测指标进行优化分析，进而判定其中的哪些指标对于水质的演变（如水污染）具有控制意义，而另一些指标则意义不大。显然，对于前一类指标应是今后需要继续监测的重点，而对于后一类指标则可以不考虑今后继续监测。

下面，以工程实例来说明上述两种多元数理统计分析方法处理水质资料的有效性（宋汉周等，1992）。

新安江水电站是一座已投入运行了40 多年的大型水电工程，大坝为混凝土宽缝重力坝，最大坝高105m。坝址位于一褶皱的倒转翼上。右坝肩部分坝段基岩为泥盆系上统西湖组石英砂岩夹页岩，裂隙发育，岩体完整性差；左坝肩及河床坝基为泥盆系中、下统唐家坞群砂岩，裂隙相对不发育，岩体完整性较好。根据多年的水质分析资料，2～9 号坝段地下水的pH 值较低，而11～24号坝段地下水则呈明显的碱性化（10 号坝段无水质监测点）。基于水的pH值是反映水质综合特征的一个重要指标，因此认为2～9 号坝段地下水质的形成及其演变不同于11～24号坝段地下水，应分别探讨。

经检验，区内地下水质资料系列总体上具有正态分布的特征；其较小的均方差（σ）和变异系数（Cv）值表明，区内地下水质的演变在分析时段内是较为平稳的，在其时间系列上波动性不大。故可以把各变量的均值作为进行R—型聚类分析的原始数据，以探讨区内地下水质的成因。有关成果见图5.4.1 和图5.4.2。

图5.4.1　新安江水电站右坝肩2～9 号坝段地下水质谱系图

首先，分析图5.4.1。根据该图所示，以相关系数R＝0.5 作为相关水平进行水质的变量分类，得到以下3 组。(www.daowen.com)

图5.4.2　新安江水电站大坝11～24号坝段地下水质谱系图

由上述最后一反应式知，碳酸盐类物质于纯水中的溶解可使水的pH 值趋于增大，而与有关碳酸盐成分之间具有正相关性。

（2）Na＋。由该谱系图知，Na＋与其他变量之间的相关性极弱，表明其对于区内地下水质的影响是独立于其他变量之外的。关于Na＋的来源，认为主要与补给源有关。

之后，分析图5.4.2。根据该图，也以相关系数R＝0.5 作为相关水平对区内11～24号坝段地下水的水质变量进行分类，得到以下2组。

此外，为判定对于区内地下水质的演变具有控制意义的主要水质变量，对相同的水质资料系列作了R—型因子分析。这里，以相关系数矩阵特征值之和的90%作为阀值，确定主因子数。在求得与之相对应的初始因子载荷矩阵之后，经正交旋转，得到方差为最大的旋转因子矩阵。对于2～9 号坝段亚区，相关水质变量的R—型因子分析模型的表达式：

由于第①组各变量在第一主因子F1 中的载荷值（绝对值）均比较大，而F1 的特征值为5.383，占特征值之和的67.29%。由此表明，此关联组中的有关变量对于区内地下水质的演变具有控制作用，因而是主成分。而第②、③组中的变量因其主因子（F2，F3）的特征值较小，相应占特征值之和的百分比亦较小，故认为Na＋与Cl－这两个变量对于区内地下水的形成及其演变不具有控制作用。比较而言，Cl－的作用更小一些。

对于11～24 号坝段亚区，相关水质变量的R—型因子分析模型的表达式

采用上述两种多元统计模型对新安江水电站坝址地下水质监测资料分别作了处理并得到了一些有意义的结果，据此并结合区内具体的地质、水文地质条件，可以得到以下认识：

1）坝址区水化学场的水环境介于还原环境与氧化环境之间，因而具有由封闭体系向开放体系过渡的半封闭（或半开放）体系的特征，此对于坝址地下水质的形成具有显著的影响。

2）区内地下水的pH值的变化是碳酸平衡变动及碱度变化的结果。地下水中碳酸盐类物质的来源除部分与其补给源有关外，主要来源于地下水自补给区向坝基运移过程中对于岩体结构面中充填的碳酸盐类物质以及对于坝踵帷幕体中Ca（OH）2 一类水化产物的溶蚀作用。

3）区内不同坝段基础具有不同的岩性、地质构造条件以及不同的地下水径流条件，从而导致区内水化学场具有分区特征。在2～9 号坝段亚区中，地下水的酸化不仅与该部位基岩中零星分布的硫化物及页岩夹层中有机质的氧化有关，而且也与该部位较好的径流条件有关；而在11～24 号坝段亚区中，地下水的碱性化不仅与基岩中长石类矿物的风化溶解作用有关，而且也与该部位滞缓的水流条件有关。

综上所述表明，应用R—型聚类分析方法处理水质监测资料有助于揭示水质的成因；而应用R—型因子分析方法处理同样的资料则有助于确定对于水质的形成和演变具有控制意义的主化学成分。采用两种或以上的多元统计方法处理同一批资料，有助于更好地挖掘隐藏在水质资料系列中的多种信息，也有助于保证对于水质资料的解释精度。