在这一章里，我们将把第四章讨论的一些结果（如：可演绎性、相容性、可靠性和完全性）推广到狭谓词逻辑中.还要证明狭谓词逻辑的公理系统QC和自然推理系统FQC的等价性.

另外，在本章中，我们的讨论一直都是参照一个固定的符号集S进行的.因此，当我们提到公式时，实际上是指S—公式.但是，当我们需要同时处理几个符号集时，我们需对相应的概念附加相应的符号集以示区别.

不过，在本章内容的正式讨论之前，举两个例子来说明可靠性和完全性是一个形式系统的两个重要属性.如果一个形式系统是不可靠的或不完全的，那就很难在它上面建立起一套严密的理论体系.

例 古代有一个卖矛和盾的人，他对人说：“用我的矛可以刺穿世界上所有的盾，用我的盾可以挡住世界上所有的矛.”有人问他：“用你的矛刺你自己的盾，结果将如何呢？”这个卖矛和盾的人无言以对.

这个问题可以用谓词演算表示.用谓词penetrate（x，y）表示x可以刺穿y，谓词resist（x，y）表示x可以挡住y，常项a表示卖矛和盾的人的矛，令b表示此人的盾，令A是世界上所有矛的集合，B是世界上所有盾的集合.于是，根据此人的宣传，有

根据常识，有：

事实上，

其他两式可类似证明.

又penetrate（a，b）⇁resist（b，a），(www.daowen.com)

即：

于是，有

因此，（1）～（3）式合起来（加上谓词演算的基本规则）就是一个不可靠的系统.因此，此人的话自相矛盾.

如果用stronger（x，y）表示x比y强，并增加公式

表示若y挡不住x，则x比y强.由式（3）和式（4）加上推理规则

就可以得到

式（5）表示：若x能刺穿y，则x比y强.如果在我们的形式系统中缺如上的推理规则，那么，虽然式（5）是一个正确的命题，但却不能从已知命题（3）和（4）严格地推出，这样的系统是不完全的.