（1）∀xα→α.

证明

（2）α→∀xα，x不在α中自由出现.

证明

由于x不在α中自由出现，当然更不会在∀xα中自由出现，所以我们可以使用∀+规则.

（3）α↔∀xα，x不在α中自由出现.

证明

（4）α→∃xα.

证明

（5）∃xα→α，x不在α中自由出现.

证明

由于x不在α中自由出现，当然更不会在∃xα中自由出现，所以我们可以使用∃-规则.

（6）α↔∃xα，x不在α中自由出现.

证明 由（4）和（5）可得.

（7）∀xα→∃xα.

证明

（8）∃xα→∀xα，x不在α中自由出现.

证明

由于x不在α中自由出现，当然更不会在∃xα和∀xα中自由出现，因此∃-和∀+规则在这里都可以使用.

（9）∀xα↔∃xα，x不在α中自由出现.

证明 由（7）和（8）可得.

从（3），（6）和（9）中可以看出：对于不在一个公式中自由出现的个体变项，用全称量词修饰和不用量词修饰，用存在量词修饰和不用量词修饰，以及用全称量词修饰和用存在量词修饰所得结果都是可证等值的.

（10）∀x∀yα→∀y∀xα.

证明

（11）∃x∃yα→∃y∃xα.

证明

（12）∃x∀yα→∀y∃xα.

证明

（10），（11）和（12）刻画了重叠量词的特征.（10）和（11）中的→可以换成↔，由此可得：同名的量词可以任意交换，交换后所得的结果跟原公式仍然是可证等值的.但是，（12）中的→不能换成↔.由此可得：不同名的量词不能任意交换.否则，交换后的结果跟原公式不是可证等值的.

（13）∀x（α∧β）→∀xα∧∀xβ.

证明

（14）∀xα∧∀xβ→∀x（α∧β）.

证明

（15）∀x（α∧β）↔∀xα∧∀xβ.

证明 由（13）和（14）可得.

（16）∀x（α∧β）→α∧∀xβ.

证明

（17）α∧∀xβ→∀x（α∧β），x不在α中自由出现.

证明

（18）∀x（α∧β）↔α∧∀xβ，x不在α中自由出现.

证明 由（16）和（17）可得.

（19）∀x（α∧β）↔∀xα∧β，x不在β中自由出现.

证明 证法同（16），（17）和（18）.

（15）是全称量词对于合取的分配律.（18）和（19）分别是全称量词对合取的右和左的移置律.

（20）∃x（α∧β）→∃xα∧∃xβ.

证明

（21）∃x（α∧β）→∃xα∧β，x不在β中自由出现.

证明

（22）∃xα∧β→∃x（α∧β），x不在β中自由出现.

证明

（23）∃x（α∧β）↔∃xα∧β，x不在β中自由出现.

证明 由（21）和（22）可得.

（24）∃x（α∧β）↔α∧∃xβ，x不在α中自由出现.

证明 证法同（21），（22）和（23）.

（23）和（24）分别是存在量词对合取的左、右移置律.虽然（20）成立，但其中的→不能换成↔，所以对于存在量词来说，合取分配律不成立.

（25）∀x（α∨β）→∀xα∨β，x不在β中自由出现.

证明

（26）∀xα∨β→∀x（α∨β），x不在β中自由出现.

证明

（27）∀x（α∨β）↔∀xα∨β，x不在β中自由出现.

证明 由（25）和（26）可得.

（28）∀x（α∨β）↔α∨∀xβ，x不在β中自由出现.

证明 证法同（25），（26）和（27）.

（29）∀xα∨∀xβ→∀x（α∨β）.

证明

（27）和（28）分别是全称量词对析取的左、右移置律.虽然（29）成立，但其中的→不能换成↔，所以对于全称量词来说，析取分配律不成立.

（30）∃x（α∨β）→∃xα∨∃xβ.

证明

（31）∃xα∨∃xβ→∃x（α∨β）.

证明

（32）∃x（α∨β）↔∃xα∨∃xβ.

证明 由（30）和（31）可得.(www.daowen.com)

（33）∃x（α∨β）→∃xα∨β，x不在β中自由出现.

证明

（34）∃xα∨β→∃x（α∨β），x不在β中自由出现.

证明

（35）∃x（α∨β）↔∃xα∨β，x不在β中自由出现.

证明 由（33）和（34）可得.

（36）∃x（α∨β）↔α∨∃xβ，x不在α中自由出现.

证明 证法同（33），（34）和（35）.

（35）和（36）分别是存在量词对于析取的左、右移置律.（32）是存在量词对于析取的分配律.

（37）∀x⇁α→⇁∃xα.

证明

（38）⇁∃xα→∀x⇁α.

证明

（39）∀x⇁α↔⇁∃xα.

证明 由（37）和（38）可得.

（40）∃x⇁α→⇁∀xα.

证明

（41）⇁∀xα→∃x⇁α.

证明

（42）⇁∀xα↔∃x⇁α.

证明 由（40）和（41）可得.

（43）∀xα→⇁∃x⇁α.

证明

（44）⇁∃x⇁α→∀xα.

证明

（45）∀xα↔⇁∃x⇁α.

证明 由（43）和（44）可得.

（46）∃xα→⇁∀x⇁α.

证明

（47）⇁∀x⇁α→∃xα.

证明

（48）∃xα↔⇁∀x⇁α.

证明 由（46）和（47）可得.

（49）∀x（α→β）→（∀xα→∀xβ）.

证明

（50）∀x（α→β）→（∃xα→∃xβ）.

证明

（51）∀x（α→β）→（α→∀xβ），x不在α中自由出现.

证明

（52）（α→∀xβ）→∀x（α→β），x不在α中自由出现.

证明

（53）∀x（α→β）↔（α→∀xβ），x不在α中自由出现.

证明 由（51）和（52）可得.

（54）∃x（α→β）→（α→∃xβ），x不在α中自由出现.

证明

（55）（α→∃xβ）→∃x（α→β），x不在α中自由出现.

证明

（56）∃x（α→β）↔（α→∃xβ），x不在α中自由出现.

证明 由（54）和（55）可得.

（57）（∀xα→β）→∃x（α→β），x不在β中自由出现.

证明

（59）（∀xα→β）↔∃x（α→β），x不在β中自由出现.

证明 由（57）和（58）可得.

（60）∀x（α→β）→（∃xα→β），x不在β中自由出现.

证明

（61）（∃xα→β）→∀x（α→β），x不在β中自由出现.

证明

（62）∀x（α→β）↔（∃xα→β），x不在β中自由出现.

证明 由（60）和（61）可得.

（49）～（62）刻画了量词与蕴涵之间的关系.其中，（53）和（56）是量词对于蕴涵的移置律.（59）和（62）叫做量词转换律，它们把全称量词转换为存在量词，把存在量词转换为全称量词.（49）中的→不能换成↔，即全称量词对蕴涵的分配律不成立.

（63）∀x（α→β）→（∀x（β→γ）→∀x（α→γ））.

证明

（64）∀x（α↔β）→（∀xα↔∀xβ）.

证明

（65）∀x（α↔β）→（∃xα↔∃xβ）.

证明

（66）∀x（α↔β）→（∀x（β↔γ）→∀x（α↔γ））.

证明

（64）～（66）刻画了量词与等值之间的关系.