定义1.13 如果个体变项的某个出现不受量词的管辖，那么称该出现是自由的，否则称为约束的.

在一个公式中，一个个体变项的出现既可以是自由的又可以是约束的.例如，令S={R}，在下面的S—公式

∀x（R（x，y）∧∃y R（y，x））∨∃z⇁R（x，z）

中，有x，y，z三个个体变项，x的前三次出现都是约束的，最后一次出现是自由的；而y的第一次出现是自由的，后两次出现都是约束的，z的两次出现均为约束的.

定义1.14 如果个体变项x在公式α中至少有一次自由出现，我们就说x在α中自由出现，x称为α的自由变项.

定义1.15 对于任一公式α，α的全体自由变项，记作free（α），如下：

（1）var（x）={x}，var（c）=∅；

（2）free（Rn（t0，t1，…，tn-1））=var（t0）∪var（t1）∪…∪var（tn-1）；

（3）free（⇁α）=free（α）；

（4）free（（α∨β））=free（α）∪free（β）；

（5）free（∀xα）=free（α）-{x}，free（∃xα）=free（α）-{x}.

由定义1.14可得：

free（（α∧β））=free（α）∪free（β），

free（（α→β））=free（α）∪free（β），

free（（α↔β））=free（α）∪free（β）.

例1.9 求free（∀x（R（x，y）∧∃y R（y，x））∨∃z⇁R（x，z））.

解 free（∀x（R（x，y）∧∃y R（y，x））∨∃z⇁R（x，z））

=free（∀x（R（x，y）∧∃y R（y，x）））∪free（∃z⇁R（x，z））

=（free（R（x，y）∧∃y R（y，x））-{x}）∪

（free（⇁R（x，z））-{z}）

=（（free（R（x，y））∪（free（R（y，x））-{y}））-{x}）∪

（var（x）∪var（z）-{z}）

=（（var（x）∪var（y））∪（var（y）∪var（x）-{y}））-{x}）∪(www.daowen.com)

（{x}∪{z}-{z}）

=（{x，y}∪{x}-{x}）∪{x}

={y}∪{x}={x，y}.

因此，只有x，y是所给公式的自由变项.

定义1.16 不含自由变项的公式叫闭公式.

例如，公式∀x（R（x，y）→∀y P（y））不是闭公式，因为y的第一次出现是自由出现；公式∀x（R（x，c）→∀y P（y））是闭公式.

从原子公式出发，应用逻辑联结词规则和量词规则，我们就可以构造出无穷多各种各样的一阶公式.现在，我们将一阶语言LS的所有公式列举如下：

第0层：T，F，p，q，r，…

P（x），Q（x，y），R（x，y，z），…

第1层：⇁T，⇁F，⇁p，⇁q，⇁r，…

⇁P（x），⇁Q（x，y），⇁R（x，y，z），…

p∨P（x），P（x）∨R（x，y，z），q∨r，…

∀x P（x），∃x Q（x，y），∃y Q（x，y），…

第2层：⇁⇁T，⇁⇁F，⇁⇁p，⇁⇁q，⇁⇁r，…

⇁⇁P（x），⇁⇁Q（x，y），⇁⇁R（x，y，z），…

⇁（p∨P（x）），⇁（P（x）∨R（x，y，z）），⇁（q∨r），…

∀x P（x）∨∃x Q（x，y），…

∀x∃y Q（x，y），…

⋮

第n+1层：⇁α，其中：α是第n层的公式；

（α∨β），其中：α是第n层的公式，β是低于第n层的公式；

∀xα，∃xα，其中：α是第n层的公式，x在α中自由.