让我们先看下面的例子.

例1.1 设集合A={1，2，…，10}，考察下面的推理：

“A中的数皆大于零.6是A中的数，所以6大于零.”

如果用pi表示“i∈A”，用qi表示：“i＞0”（i=1，2，…，10）.上面的推理在命题演算PC中，可以化为下面正确的推理形式：

若把A改成全体自然数集或者正有理数的集合，那么上面的形式推理就遇到了麻烦，遇到了从有限的个体对象到无限的个体对象的转变.为了建立新的形式化方法，我们需要下面的一些概念.

定义1.1 某一语言环境中可能论及的每一件事物所组成的整体，叫做论域或者个体域.论域中的元素叫个体；表示个体的符号叫个体词；表示某一论域中任意个体的符号叫个体变项；表示某一论域中一个特定个体的符号叫个体常项.

例1.2 在集合论中，取全体集合作成的类V作为个体域，空集∅就是其中的一个个体常项，对任意的x∈V，x（表示任意的集合）是一个个体变项.我们还可以取自然数集N作为个体域，任意的n∈N，n（表示任意的自然数）是一个个体变项，0是它的一个个体常项.

例1.3 考虑下面的两个命题：

在命题（1）中，如果令F表示“……是圆的”这个性质，则F（x）就表示“x是圆的”.如果用a表示“这个皮球”，那么F（a）就表示“这个皮球是圆的”.也就是说，命题（1）的形式表达式为F（a），这里，F是一个一元谓词，表示“圆”这种性质.x和a是个体词，它们表示具有“圆”这种性质的个体.其中x是不固定的，因此，x是一个个体变项，a是固定的，a是一个个体常项.

在命题（2）中，如果令G表示“……是……的弟弟”，则G（x，y）表示“x是y的弟弟”.如果用a表示“周建人”，用b表示“鲁迅”，那么G（a，b）就表示“周建人是鲁迅的弟弟”.也就是说，命题（2）可以表示为G（a，b）.这里，G是一个二元谓词，表示“甲是乙的弟弟”这种关系，x，y和a，b都是个体词.其中x和y是个体变项，a和b是个体常项.

定义1.2 刻画一个个体性质的词称为一元谓词，刻画两个个体之间关系的词称为二元谓词.一般地，刻画n个个体之间关系的词称为n元谓词.

与命题相比，谓词具有更强的表达能力：其一，谓词具有概括能力，但命题没有概括能力.例如，为了表达：××是一种动物，则有多少动物就要用多少个命题来表示.令

p1表示：“老虎是一种动物”.(www.daowen.com)

p2表示：“河马是一种动物”.

p3表示：“猩猩是一种动物”.但是，这些命题只要用一个谓词animal（x）就可以了，其中x可以是老虎、河马、猩猩，等等.于是，上面三个命题又可以表示成：

p1：animal（老虎）.

p2：animal（河马）.

p3：animal（猩猩）.

其二，命题只能代表某种固定的情况，而谓词可以代表变化着的情况.例如，设有两个命题p和q，p表示：“天津是一座城市”，q表示：“老虎是一座城市”.那么p是一个真命题，q是一个假命题.但是，谓词值的真假却可以因参数而异.如：city（x）.同是一个谓词city，当它的参数x为天津时，city（天津）（即：天津是一座城市）是一个真命题；当参数x为老虎时，city（老虎）（即：老虎是一座城市）是一个假命题.

其三，可以利用谓词在不同的知识之间建立联系.例如，设Human（x）表示：“x是人”，Lawed（x）表示：“x受法律管制”，则这两个谓词可以联结成一个更复杂的命题：Human（x）→Lawed（x）.它表示：“人人都要受法律的管制”.

值得注意的是：谓词或关系词是不能脱离个体词而独立存在的.

除了个体词和谓词以外，组成命题成分的还有量词.

定义1.3 用来表示命题中数量的词叫量词.

在狭谓词逻辑中，常用的量词有全称量词和存在量词两种.全称量词表示“所有的”或“任一个”等等.存在量词表示“有的”或“存在”等等.全称量词表示所有的个体都具有给定谓词所表示的性质或关系；存在量词表示存在（即至少有一个）个体具有给定谓词所表示的性质或关系。

通过以上分析可以看出，一个一阶语言L除了包含命题语言L0的一切符号外，还要包括一些表示个体词、谓词和量词的符号.