现在，我们从语义的角度给出重言式和重言后承两个概念.这是两个非常重要的概念.

定义6.2 令Φ是一个公式集.如果对每个φ∈Φ，都有σ（φ）=1，那么称真值赋值σ满足Φ，记作σ0Φ.特别地，当Φ={φ}时，记作σ0φ，称真值赋值σ满足φ.

定义6.3 如果对任一公式α，并且对任意的真值赋值σ，都有σ0α，那么称α为重言式.

定义6.4 如果对于使σ0Φ的每一真值赋值σ，都有σ0α，那么称α是公式集Φ的重言后承，记作Φ0α.特别地，当Φ为一空集时，记作0α.当Φ={φ}时，记作φ0α.

由以上定义立即可得出以下结论：

1.α是一个重言式，当且仅当∅0α（α是空集的重言后承），当且仅当0α.

2.若α∈Φ，则Φ0α.

3.若0α，则Φ0α，即：重言式是任何公式集Φ的重言后承.

例6.2 证明：α0α∨β，⇁α0α→β.

证明 对于任一真值赋值σ，如果σ（α）=1，则σ（α∨β）=max（σ（α），σ（β））=1；如果σ（⇁α）=1，则σ（α）=1-σ（⇁α）=0，由此得σ（α→β）=1.

例6.3 证明：如果Φ0α并且Φ0α→β，则Φ0β.

证明 对任意的真值赋值σ，如果σΦ，并且当σ（α）=σ（α→β）=1时，由真值赋值的定义，可得σ（β）=1.故：Φ0β.

定义6.5 如果公式α和β互为重言后承，即对每个真值赋值σ，都有σ（α）=σ（β），那么称α和β是重言等值的.

定理6.1 {α1，α2，…，αn}0α当且仅当0α1→α2→…→αn→α.

证明 只需证0α1→α2→…→αn→α当且仅当{α1，α2，…，αn}0α即可.事实上，

当且仅当 σ（α1→α2→…→αn→α）=0，

当且仅当 σ（α1）=1，σ（α2→α3→…→αn→α）=0，(www.daowen.com)

当且仅当 σ（α1）=σ（α2）=1，σ（α3→α4→…→αn→α）=0，

⋮

当且仅当 σ（α1）=σ（α2）=…=σ（αn）=1，σ（α）=0，

当且仅当 {α1，α2，…，αn}0α.

定理6.2 Φ，α0β当且仅当Φ0α→β.

证明 设Φ，α0β并且设σ是任意的使Φ中每个公式都为1的真值赋值.

如果σ（α）=1，则由Φ，α0β可得σ（β）=1.于是，σ（α→β）=1；如果σ（α）=0，则σ（α→β）=1.由此证得Φ0α→β.

反之，设任意的真值赋值σ，σ0Φ且σ0α，又Φ0α→β.所以对所有满足Φ和α的真值赋值σ，都有σ0α→β.再由真值赋值的定义可得：σ0β.即：Φ，α0β.

定理6.3 对任意的公式α和β，有{α，α→β}0β.

证明 利用定义6.1，可立刻得此结论.

定理6.4 α与β重言等值当且仅当（α↔β）是重言式.

证明 α与β重言等值，当且仅当对任意的真值赋值σ，都有σ（α）=σ（β），当且仅当对任意的真值赋值σ，有σ0α↔β，当且仅当α↔β为重言式.

这一节，我们又从语义学的角度刻画了重言式和重言后承的概念.重言后承是命题逻辑中前提和结论之间关系的语义刻画.它说明在前提为真的条件下可以得出什么样的结论，即刻画了前提与结论之间的真假关系.这两个概念都是从可真性引出的.在本章第二、三、四节中，我们已从语法的角度描述了这两个概念，即从可证性描述了它们.

如果在一个系统里可证的公式都是重言式，即若α，那么α，则称该系统是可靠的.反之，如果一个公式是重言的，那么它也是可证的，即若α，那么α，则称该系统是完全的.如果一个系统同时具有这两个特性，那么它恰好包罗了全体重言式.这样的系统从逻辑的角度说是一个好系统，因为在这样的系统里，一个推理是否正确在系统中完全能判明.正确的推理所相应的蕴涵式在这个系统中都是可证公式；如果推理的蕴涵式在系统中不可证，那么推理就是不正确的.PC系统和FPC系统都是这样的系统，它们既具有可靠性又具有完全性.另外，PC系统和FPC系统也是协调的，即不存在一个公式α，使得α，⇁α，或者α，⇁α.（这些结论，将在第四章讨论）

值得注意的是：α0β和αβ中的关系和不同.前者是语义的，表明公式α和β之间的真假关系，而同演绎系统中的公理和推理规则无关；后者是语法的，表示根据演绎系统中的公理和推理规则，从α能推导出β，而与对公式的赋值以及真假无关.但是，根据命题演算的完全性和可靠性，有α0β当且仅当αβ，从而表明：在命题逻辑中，精确严格地表达了；反之亦然.换句话说，命题语义学的目的就是给命题演算关系0做出一种有意义的描述；反之，命题演算的目的就是要通过建立适合的形式系统，对语义后承关系0做出一种语法描述.