1.求否定运算

求否定运算，就是求与一命题的否定命题等值的命题.令p表示：“张三是一个学生”，则⇁p表示：“张三不是学生”.对于简单命题，我们可以用加否定词⇁的办法得到它的否定命题.对稍复杂一些的命题，如：p∨q和（⇁p∧⇁q），我们只有通过作它们的真值表，来判断一个命题是否另一个命题的否定.由真值表

我们可以断定⇁p∧⇁q是p∨q的否定式，因为⇁p∧⇁q等值于⇁（p∨q）.但对于复杂的命题形式，要得到与它的否定式相等值的命题形式，并不是一件容易的事.但是，现在我们可以利用一种叫做求否定运算的方法，求一公式的否定式.

它的主要思想是：把具体命题符号化，借助公式符号变形规则，将求否定变成一种可操作的运算.即：通过求否定规则，给出求一个命题的否定式的方法.在介绍具体作法之前，我们先约定：

（1）用α-表示α的否定；

（2）如果在一个公式里→或↔出现，要将→或↔逐个消去.

因此，在介绍具体作法时，我们不妨假定所讨论的公式中不出现→和↔.

求否定的运算方法如下：

（1）∨被代以∧，∧被代以∨；

（2）不出现于部分公式⇁π中的π被代以⇁π；

（3）⇁π被代以π.

下面的结论成立：

（1）如果α→β真，则β-→α-真；

（2）如果α↔β真，则β-↔α-真.

例3.12 求（p∨q）∧r∧（q∨⇁r）的否定式.

解 将∧和∨互换，得：

（p∧q）∨r∨（q∧⇁r），

将⇁π代以π，π代⇁π，得：

（⇁p∧⇁q）∨⇁r∨（⇁q∧r），

此式即为所求.

例3.13 求（⇁p∧q∧p）∨（q∧r∧⇁p）的否定式.

解 将∧和∨互换，得：

（⇁p∨q∨p）∧（q∨r∨⇁p），

将⇁π代π，π代⇁π，得：

（p∨⇁q∨⇁p）∧（⇁q∨⇁r∨p），

此式即为所求.

例3.14 求（（p→q）∧⇁q）→⇁p的否定式.

解 消去→，得：

⇁（（⇁p∨q）∧⇁q）∨⇁p.

内移⇁，得：(www.daowen.com)

（⇁（⇁p∨q）∨⇁⇁q）∨⇁p.

（⇁⇁p∧⇁q）∨⇁⇁q∨⇁p.

消去⇁⇁，得：

（p∧⇁q）∨q∨⇁p，

互换∧和∨，得：

（p∨⇁q）∧q∧⇁p，

将⇁π代π，π代⇁π，得：

（⇁p∨q）∧⇁q∧p.

此式即为所求.

通过以上几个例子可以看出，不论一命题形式是π，⇁α还是α∨β或α∧β，求它的否定式的问题都可以归结为求π以及求原公式的部分公式α和β的否定式.

2.求对偶运算

在本节中，我们曾利用（优）合取范式获得（优）析取范式，也利用（优）析取范式获得（优）合取范式.这种方法也可以看成是一种运算，并称它为对偶运算.

求对偶运算的方法比较简单，它要求在命题形式α↔β和α→β中，↔和→均不在α和β中出现，⇁只出现在命题变项之前，将α，β中的∨和∧互换，得下面的结论：

（1）如果α↔β真，则α*↔β*真；

（2）如果α→β真，则β*→α*真.

其中，α*和β*分别是在α，β中把∨和∧互换的结果.因此，称α*和β*分别是α和β的对偶.

注意：（1）α↔β真，是指α↔β是重言式；（2）α-与α*不同.在α-里，我们多做了两种替换（（2）和（3）），这些替换实际上就是把真换成假，假换成真.

例3.15 利用对偶运算，从p∨（q∧r）↔（p∨q）∧（p∨r）真，可得

p∧（q∨r）↔（p∧q）∨（p∧r）也真.

例3.16 求（（p∨q）→r）→p的对偶命题.

解 消去→，得：

⇁（⇁（p∨q）∨r）∨p，

内移⇁，得：

（⇁⇁（p∨q）∧⇁r）∨p，

消去⇁⇁，得：

（（p∨q）∧⇁r）∨p，

互换∧和∨，得：

（（p∧q）∨⇁r）∧p，

此式即为所求.