1.范式的作用

（1）合取范式的作用：可以用来判明一个命题形式是否为重言式.即：一个合取范式是重言式，当且仅当，它的每一个简单析取均是重言的.

例3.6 求p→p∧q的合取范式，并判明它是否重言式.

解 消去→，得：⇁p∨（p∧q）.

用∨对∧的分配律，得：（⇁p∨p）∧（⇁p∨q）.

即为所求.由于在该合取范式中它的简单析取支⇁p∨q不是重言式，故原式不是重言式.

（2）析取范式的作用：可以用来判明一个命题形式是否为不可满足的.即：一个析取范式是不可满足的，当且仅当，它的每一个简单合取都是不可满足的.

例3.7 求p∧q→q∧p的析取范式，并判明它是否不可满足.

解 消去→，得：⇁（p∧q）∨（q∧p）.

内移⇁，得：⇁p∨⇁q∨（q∧p）.

此式为所求.由于在该析取范式中，它的简单合取支不是不可满足的，故原式不是不可满足式.

（3）优范式的作用之一：可以用来判明一个命题形式在命题变项不同的取值情况下，其值的真假.

当一个命题形式既不是重言式又不是不可满足式时，用优析取范式可以判明在命题变项的哪些取值情况下，命题形式的值为真；或者用优合取范式可以判明在命题变项的哪些取值情况下，命题形式的值为假.因为前者对应写真法，后者对应写假法.

例3.8 判明当p，q，r取何值时，（⇁q∨r）∧p取真值真？当p，q，r为何值时，（⇁q∨r）∧⇁p取真值假？

解 ①求（⇁q∨r）∧p的优合取范式.

展开：

（（⇁q∨r）∨（p∧⇁p））∧（p∨（q∧⇁q）∨（r∧⇁r））.

（⇁q∨r∨p）∧（⇁q∨r∨⇁p）∧（（（p∨q）∧（p∨⇁q））∨（r∧⇁r））.

（⇁q∨r∨p）∧（⇁q∨r∨⇁p）∧（（（p∨q）∨（r∧⇁r））∧（（p∨⇁q）∨（r∧⇁r））.

（⇁q∨r∨p）∧（⇁q∨r∨⇁p）∧（p∨q∨r）∧（p∨q∨⇁r）∧（p∨⇁q∨r）∧（p∨⇁q∨⇁r）.

排列：

（p∨q∨r）∧（p∨q∨⇁r）∧（p∨⇁q∨r）∧（p∨⇁q∨r）∧（p∨⇁q∨⇁r）∧（⇁p∨⇁q∨r）.

消去：

（p∨q∨r）∧（p∨q∨⇁r）∧（p∨⇁q∨r）∧（p∨⇁q∨⇁r）∧（⇁p∨⇁q∨r）.

此式即为所求.由此看出：当（p，q，r）分别取（假，假，假），（假，假，真），（假，真，假），（假，真，真）和（真，真，假）时，（⇁q∨r）∧p的值为假，在其他情况下，即：当（p，q，r）分别取（真，真，真），（真，假，真）和（真，假，假）时，（⇁q∨r）∧p的值为真.

②求（⇁q∨r）∧p的优析取范式.

展开：

（⇁q∧p）∨（r∧p）.

（（⇁q∧p）∧（r∨⇁r））∨（（r∧p）∧（q∨⇁q））.

（⇁q∧p∧r）∨（⇁q∧p∧⇁r）∨（r∧p∧q）∨（r∧p∧⇁q）.

排列：

（p∧q∧r）∨（p∧⇁q∧r）∨（p∧⇁q∧r）∨（p∧⇁q∧⇁r）.

消去：

（p∧q∧r）∨（p∧⇁q∧r）∨（p∧⇁q∧⇁r）.

此式即为所求.由此看出，当（p，q，r）分别取（真，真，真），（真，假，真）和（真，假，假）时，（⇁q∨r）∧p的值为真，在其他情况下，（⇁q∨r）∧p的值为假.

（4）优范式的作用之二：可以用来判明两个不同的真值形式是否等值.

因为一个真值形式的优析取范式和优合取范式是唯一的，所以两个不同的

真值表达式是否表达同一个真值函项，可以通过求它们的优析取范式或优合取范式来判明.

但是，一般的范式不具有这样的作用.如果两个不同的真值形式的优范式相同，那么它们表达了同一个真值函项，因而这两个不同的真值形式是等值的.

例3.9 利用优范式判明下面的两个真值形式

是否逻辑等值.

解 求（1）式的优析取范式：

展开：

（（⇁p∧q）∧（r∨⇁r））∨（（⇁q∧r）∧（p∨⇁p））∨（（⇁r∧p）∧（q∨⇁q））.

分配：

（⇁p∧q∧r）∨（⇁p∧q∧⇁r）∨（⇁q∧r∧p）∨（⇁q∧r∧⇁p）∨（⇁r∧p∧q）∨（⇁r∧p∧⇁q）.

排列：

（⇁p∧q∧r）∨（⇁p∧q∧⇁r）∨（p∧⇁q∧r）∨（⇁p∧⇁q∧r）∨（p∧q∧⇁r）∨（p∧⇁q∧⇁r）.

（p∧q∧⇁r）∨（p∧⇁q∧r）∨（p∧⇁q∧⇁r）∨（⇁p∧q∧r）∨（⇁p∧q∧⇁r）∨（⇁p∧⇁q∧r）.

求（2）式的优析取范式：

展开：

（（⇁q∧p）∧（r∨⇁r））∨（（⇁r∧q）∧（p∨⇁p））∨（（⇁p∧r）∧（q∨⇁q））.

分配：

（⇁q∧p∧r）∨（⇁q∧p∧⇁r）∨（⇁r∧q∧p）∨（⇁r∧q∧⇁p）∨（⇁p∧r∧q）∨（⇁p∧r∧⇁q）.

排列：

（p∧⇁q∧r）∨（p∧⇁q∧⇁r）∨（p∧q∧⇁r）∨（⇁p∧q∧⇁r）∨（⇁p∧q∧r）∨（⇁p∧⇁q∧r）.(www.daowen.com)

（p∧q∧⇁r）∨（p∧⇁q∧r）∨（p∧⇁q∧⇁r）∨（⇁p∧q∧r）∨（⇁p∧q∧⇁r）∨（⇁p∧⇁q∧r）.

由此可得：（1）式和（2）式逻辑等值.

（5）优合取范式的作用：可以用来判明一个真值形式中的否定词是否可以消去.

因为我们有下面的结论：

命题 一个由n个命题变项p1，p2，…，pn组成的真值函项可以不用否定词⇁表达，当且仅当，其优合取范式里没有

这样的简单析取.

事实上，任何一个没有否定词的公式都不能代替这个简单析取.因为当命题变项p1，p2，…，pn均取真值真时，没有否定词而只使用其他四个联结词所组成的最简单的公式，其值均为真.重复和交换使用这四个联结词所组成的公式，不论多么复杂.其值也只能为真.在这种情况下，（*）式的值为假.而（*）式又不能和没有否定词且只使用其他四个联结词所组成的那些公式等值.因而，不用否定词就不能表达.反之，如果优合取范式里没有（*）式，则其中每一简单析取里至少有一个变项前无否定词.不妨设为

p1∨⇁p2∨⇁p3∨…∨⇁pn.

对这样的简单析取，利用2.2.5节中的德·摩根律，将其表示为

p2∧p3∧…∧pn→p1.

因此，该优合取范式和原公式都可以不用否定词表达.即，否定词可以消去.

2.范式的应用

范式的应用一般分为两类.一类是判断推理是否正确，另一类是求其结果（非推理）.下面是利用范式解决实际问题的例子.

例3.10 判断下面的推理是否正确.

或者逻辑学难学，或者并非许多学生喜欢它.如果数学不难学，那么逻辑学也不难学.因此，如果许多学生喜欢逻辑学，那么数学也是难学的.

解 令p：逻辑学难学，q：许多学生喜欢逻辑学，r：数学难学.

因此，“或者逻辑学难学，或者并非许多学生喜欢它”可表示为：p∨⇁q.

“如果数学不难学，那么逻辑学也不难学”可表示为：⇁r→⇁p.

“如果许多学生喜欢逻辑学，那么数学也是难学的”，可以表示为：q→r.

在这里，“因此”前面的内容是前提，后面是结论.于是与之相应的蕴涵式为：

（p∨⇁q）∧（⇁r→⇁p）→（q→r）.

它的优析取范式为：

（p∧q∧r）∨（p∧q∧⇁r）∨（p∧⇁q∧r）∨

（p∧⇁q∧⇁r）∨（⇁p∧q∧r）∨（⇁p∧q∧⇁r）∨

（⇁p∧⇁q∧r）∨（⇁p∧⇁q∧⇁r）.

因此，它是一个重言式，从而这个推理正确.

例3.11 新学期开始，给某年级安排课表时，各任课教师分别有如下要求：

外语教师：要求在每星期一或三上课；

数学教师：要求在每星期一或二上课；

法学教师：要求在每星期二或四上课；

美学教师：要求在每星期三或五上课；

体育教师：要求在每星期四或五上课.

怎样安排才能满足全部教师的要求，并且一天只有一个教师上课（每个教师每星期只上一次课）？

解 设以下各命题变项分别表示：

p1：星期一上外语， p2：星期三上外语，

q1：星期一上数学， q2：星期二上数学，

r1：星期二上法学， r2：星期四上法学，

s1：星期三上美学， s2：星期五上美学，

t1：星期四上体育， t2：星期五上体育.

各任课教师的要求可分别表示为：

（p1∧⇁p2）∨（⇁p1∧p2）； （q1∧⇁q2）∨（⇁q1∧q2）；

（r1∧⇁r2）∨（⇁r1∧r2）； （s1∧⇁s2）∨（⇁s1∧s2）；

（t1∧⇁t2）∨（⇁t1∧t2）.

要满足全体任课教师的要求，只需要求下面的合取式真.

（（p1∧p2）∨（⇁p1∧p2））∧（（q1∧⇁q2）∨（⇁q1∧q2））∧

（（r1∧⇁r2）∨（⇁r1∧r2））∧（（s1∧⇁s2）∨（⇁s1∧s2））∧

（（t1∧⇁t2）∨（⇁t1∧t2））

利用分配律，将上式化为优析取范式.根据题意，p1∧q1，q2∧r1，p2∧r1，r2∧r1，s2∧t2皆假，由此得出析取范式中的一些简单合取为假.最后可得：

（p1∧⇁p2∧⇁q1∧q2∧⇁r1∧r2∧s1∧⇁s2∧⇁t1∧t2）∨

（⇁p1∧p2∧q1∧⇁q2∧r1∧⇁r2∧⇁s1∧s2∧t1∧⇁t2）.

为真.即按下面两种课表安排就可满足全部教师的要求：

星期一 星期二 星期三 星期四 星期五

外语 数学 美学 法学 体育

数学 法学 外语 体育 美学