这里我们主要介绍重言式的两个作用：①利用重言式，判定一个推理形式是否正确；②利用重言式，判定两个真值形式是否等值.

在2.2.4节中已经指出：推理形式

如果p，则q；

p；

所以，q.

是正确的，并且与它相应的蕴涵式（（p→q）∧p→q）是一个重言式.实际上，判定一个推理形式是否正确，就是判定它所对应的蕴涵式是否为重言式.因为一个推理是由前提和结论两部分组成的.如果一个推理形式是正确的，那么由前提真必然能得到结论真.反之，如果一个推理由前提真必然能得到结论真，则该推理的推理形式是正确的.所以，前提与结论之间的关系是蕴涵关系.因此，我们可以用一个蕴涵式来表示推理形式，这个蕴涵式的前件是各个前提的合取，后件是结论.如果推理形式是正确的，那么相应的蕴涵式就是一个重言式.因为正确的推理形式是不依赖于前提和结论的具体内容的，所以相应的蕴涵式必须对于所含命题变项的任何取值（真或假），其真值总为真.也就是说，相应的蕴涵式必为重言式.现在，我们观察下面的三个推理形式及相应的真值表.

例2.15 如果p，那么q；

所以，如果非q，那么非p.

这是假言易位推理，与这个推理相应的蕴涵式为：

（p→q）→（⇁q→⇁p）.

它的真值表为：

例2.16 如果p，那么q；

非p；

所以，非q.

与这个推理相应的蕴涵式为：

（（p→q）∧⇁p）→⇁q.

它的真值表为：

例2.17 要么p，要么q；

p；

所以，非q.

这是不相容的选言推理，与这个推理形式相当的蕴涵式为：

α：（（p∧⇁q）∨（⇁p∧q））∧p→⇁q.

它的真值表为：

在例2.15中，真值表说明与该推理形式相当的蕴涵式（p→q）→（⇁q→⇁p）是一个重言式，所以例2.15中的推理形式是正确的.在例2.16中，真值表说明与该推理形式相当的蕴涵式（（p→q）∧⇁p）→⇁q不是重言式.所以例2.16中的推理形式是不正确的.在例2.17中，真值表说明与该推理形式相当的蕴涵式（（（p∧⇁q）∨（⇁p∧q））∧p）→⇁q是重言式，所以，例2.17中的推理也是正确的.这样一来，我们就把判定一个推理形式是否正确的问题归结为判定相应的蕴涵式是不是一个重言的蕴涵式的问题.

判定两个真值形式是否等值的问题，可以归结为判定它们构成的等值式是否为重言式.也就是说，不论其中的命题变项取什么值，这两个真值形式的值总是或者同真或者同假.

例2.18 判断（⇁p∨q）∧（p∨⇁q）与p↔q是否等值.

它们的真值表如下：

因为（⇁p∨q）∧（p∨⇁q）↔（p↔q）是一个重言式，所以，（⇁p∨q）∧（p∨⇁q）与p↔q等值.

定义2.3 对于任意的两个真值形式，如果不论其中命题变项取什么值，这两个真值形式的值总是同真或者同假，那么称它们是重言等值的.重言等值的式子称为重言等值式.

因此，我们可以称（⇁p∨q）∧（p∨⇁q）↔（p↔q）是重言等值式，并且（p→q）∧（q→p）↔（p↔q）也是重言等值式.由此可知：（⇁p∨q）∧（p∨⇁q），（p→q）∧（q→p）和p↔q是同一类的真值函项.

等值关系是一种等价关系，因为它具有：

（1）自返性 α↔α是重言式.

（2）对称性 若α↔β是重言式，则β↔α也是重言式.

（3）传递性 若α↔β与β↔γ都是重言式，则α↔γ也是重言式.(www.daowen.com)

下面给出命题逻辑中一些常用的等值式，这些等值式在以后会经常用到.

（1）α：（p→q）↔⇁p∨q

这个等值式刻画了蕴涵词“→”与否定词和析取词之间的关系，即“p蕴涵q，等值于，p假或者q真”.其真值表为：

（2）α：（p→q）↔⇁（p∧⇁q）

这个等值式刻画了蕴涵词“→”与否定词“⇁”和合析词“∧”之间的关系，即“p蕴涵q，等值于，并非，p真并且q假”.其真值表为：

（3）α：（p↔q）↔（p→q）∧（q→p）

这个等值式刻画了等值词“↔”与蕴涵词“→”和合取词“∧”之间的关系，即“p当且仅当q，等值于，p蕴涵q并且q蕴涵p”.其真值表为：

（4）α：（p↔q）↔（⇁p∨q）∧（⇁q∨p）

这个等值式刻画了↔与⇁，∨，∧之间的关系.即“p当且仅当q，等值于，非p析取q并且非q析取p”.它的真值表为：

（5）α：（p↔q）↔（p∧q）∨（⇁p∧⇁q）

这个等值式也刻画了↔与⇁，∧，∨之间的关系.即“p当且仅当q，等值于，p并且q或者非p并且非q”.它的真值表为：

（6）α：p∨q↔q∨p

这是析取交换律，即“p或q，等值于，q或p”.其真值表为：

（7）α：p∧q↔q∧p

这是合取交换律，即“p并且q，等值于，q并且p”.其真值表为：

（8）α：（p∨q）∨r↔p∨（q∨r）

这是析取结合律，即“（p或q）或r，等值于，p或（q或r）”.其真值表为：

（9）α：（p∧q）∧r↔p∧（q∧r）

这是合取结合律，即“（p并且q）并且r，等值于，p并且（q并且r）”.其真值表为：

（10）p∧（q∨r）↔（p∧q）∨（p∧r）

这是合取对析取的分配律，即“p并且（q或r），等值于，（p并且q）或者（p并且r）”.其真值表为：

（11）α：p∨（q∧r）↔（p∨q）∧（p∨r）

这是析取对合取的分配律，即“p或（q并且r），等值于，（p或q）并且（p或r）”.其真值表为：

（12）α：⇁（p∨q）↔⇁p∧⇁q

这是德·摩根律之一，即“并非（p或q），等值于，非p并且非q”.其真值表为：

（13）α：⇁（p∧q）↔⇁p∨⇁q

这是德·摩根律之一，即“并非（p并且q），等值于，非p或非q”.其真值表为：

（14）α：p↔⇁⇁p

这是双重否定原则，即“p，等值于，并非不p”.其真值表为：

（15）α：（p→q）↔（⇁q→⇁p）

这是假言易位原则，即“p蕴涵q，等值于，非q蕴涵非p”.其真值表如下：

在上面的等值式中，特别需要引起注意的是（6）～（14）.因为这些等值式说明，我们对两个命题之间规定的“运算”：①∨和∧满足交换律和结合律；②∨对∧的分配律和∧对∨的分配律；③∨，∧和⇁满足德·摩根律和双重否定律.这样一来，我们对两个命题之间规定的“运算”就与第一章集合论中两个集合之间的运算：∪，∩和′类似.由于我们可以把集合的某些运算看成是数运算的一种推广，现在，我们也可以把两个命题之间的某些运算看成是数运算的一种推广.这样处理命题的目的，是为了实现莱布尼茨的设想.