每一真值形式实际上都可以被看作一个函数，这个函数的自变元就是其中所含的命题变项，它的定义域和值域都是真值的集合，即{真，假}.

定义2.1 一个函数，如果其自身的值是真值，其自变项所取的值也是真值，那么称这样的函数为真值函项.

例如：p∨q，⇁（⇁p∧⇁q），⇁p∨q，p→q等等.

由此可得：每一真值形式又都是一个真值函项.

现在，我们来考察函数f（x）=1（x∈R）和g（x）=x 0（x∈R）.虽然f（x）和g（x）所对应的函数表达式不同，但定义域相同，值域也相同.并且，对任一x∈R，f（x）=g（x）.习惯上，我们把f（x）和g（x）看成是一个函数，即f=g.同样，虽然真值形式p∨q和⇁（⇁p∧⇁q）不同，但它们的定义域和值域相同，并且它们的真值表也相同，因此，我们把具有这种性质的两个真值形式称为同一类的真值函项.

真值形式的数目是无限的，每一真值函项类中真值形式的数目也是无限的.当命题变项的数目确定以后，虽然经过五个基本的真值联结词可以组成各种各样的真值形式，但是，不同真值函项类的数目是确定的、有限的.真值函项的种类有多少，取决于命题变项的个数.

下面我们将计算：当命题变项的数目为n（自然数）时，真值函项类有多少种.

当命题变项的数目为1时，设命题变项为p，p的真值共有两种：真和假.即：

在p的每一种取值下，真值函项的取值各有两种.由此产生不同真值函项的数目有且只有2×2=4种，即：

其中f1（p）是一个常真的真值函项，f4（p）是一个永假的真值函项，f2（p）的取值与变项p的取值一致，f3（p）的取值与p的取值恰好相反.f1（p），f2（p），f3（p）和f4（p）可分别用下面的式子表示：

f1（p）：p∨⇁p；f2（p）：p；f3（p）：⇁p；f4（p）：p∧⇁p.

这样一来，q∨⇁q，⇁p∨p，r∨⇁r等等，这些真值形式都属于同一类的真值函项，即属于f1的类.同理，q，r，s等等，这些真值形式都是同一类的真值函数，即属于f2的类，等等.

当命题变项的数目为2时，设命题变项为p和q，那么p与q组成的所有不同的真值组合共有2×2=22=4种，即

对于两个变项的每一种真值组合，真值函项的取值又各有两种.因此，当命题变项的数目为2时，所构成的不同的真值函项有且只有

2×2×2×2=24=222=16(www.daowen.com)

种.下面是这16种真值函项的真值表和真值形式.

f1（p，q）～f16（p，q）的真值形式分别为：

用写真法写出的f1（p，q）～f16（p，q）的真值形式分别为：

用写假法写出的f1（p，q）～f16（p，q）的真值形式分别为：

因此，f1（p，q）所在的真值函项类中，既有p∨⇁p，又有（p∧q）∨（p∧⇁q）∨（⇁p∧q）∨（⇁p∧⇁q）.同理，p∨q和（p∧q）∨（p∧⇁q）∨（⇁p∧q）等都在f2（p，q）所确定的真值函项类中.换句话说，每一个真值表，比如：

都确定一个真值函项类.在这个类中，我们可以选择一个表达式比较简单的真值形式作为这个真值函项类的代表.比如选择p∨⇁p.用集合论的记法，这个真值函项类可以记作[p∨⇁p].即f1（p，q）=[p∨⇁p].根据这个真值函项类的特点，我们可以把它简记作T，即：f1（p，q）=[p∨⇁p]=T.对于f2（p，q），我们可以选取p∨q作它的真值函项类的代表元，并且f2（p，q）=[p∨q].我们还可以把它简记作∨.即：f2（p，q）=[p∨q]=∨.这样以来，一个真值函项类确定一个联结词，反之，一个联结词也确定一个真值函项类.f3～f16可依此类推.于是，我们还可得到结论：当命题变项的数目为2时，可以构造出16种不同的真值联结词.即：二元真值联结词有且只有16个.也就是说，真值联结词的个数也与命题变项的数目有关.

当命题变项的数目为3时，设命题变项为p，q和r，那么p，q，r所有不同的真值组合共有：2×2×2=23=8种，即：

对于三个变项的每一种真值组合，真值函项的取值又各有两种可能，即：真或假.因而当命题变项的数目为3时，能构成的不同的真值函项有且只有

2×2×2×2×2×2×2×2=28=223=256

种.换句话说，共有256个三元命题联结词.限于篇幅，我们略去这256种真值函项的真值表和真值表达式.

一般地，当真值函项中所含命题变项的数目为n时，其中每一个命题变项的取值有且只有两种可能，即真或假.因而，n个命题变项的不同取值的真值组合共有

种.对于其中每一种命题变项的真值组合，真值函项的取值又各有两种，因此，含有n个命题变项的不同的真值函项共有

种.换句话说，n元联结词有22n个.

总之，当命题变项的数目确定之后，不同真值函项的个数是完全确定的、有限的，它的真值形式的个数是无限的.一个真值函项可以由不同的真值形式来表示.